Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
выражения для потенциальной U и кинетической Т энергий будут использованы
при исследовании конкретного вида пластин.
Прямоугольные пластины. В случае прямоугольной пластины (см. рис. 5.39,
а) со свободно опертыми краями можно поступить так, как и при
прямоугольной мембране. Тогда возьмем выражение для прогибов пластины при
колебаниях в виде двойного ряда
ОО 00
mnx . tiny / v
2j 2j (p(tm)sin "T~sm~T~
ГП-l n = l
по нормальным функциям, соответствующим рассматриваемому случаю. Легко
проверить, что каждый член этого ряда удовлетворяет условиям на краях
вида v = d2v/dx2 = 0 при х = Ои х = а; при у = 0 и у = b имеем v =
d2v/dy2 = 0. Если представление (г) подставить в выражение (5.174), для
потенциальной энергии получим
ОО 00
<5176>
m=1 гг-I
При этом для кинетической энергии (5.175) имеем
ОО 00
г=-е^ц?<р(tm)- (5л77)
т~1 п-1
Сила инерции, действующая на малый элемент пластины, равна - р hvdxdy,
446
Поступая аналогично вышеизложенному и взяв для возможного перемещения
выражение
bvmn = 6(pm" sin (mnxja) sin (nny/b),
получим дифференциальное уравнение движения при свободных колебаниях в
главных координатах
По этой формуле легко можно подсчитать частоты колебаний пластины.
Например, в случае квадратной пластины для частоты низшей формы колебаний
имеем
Рассматривая высшие формы колебаний и соответствующие им узловые линии,
видим, что приведенные выше обсуждения квадратных мембран (см. рис. 5.36)
в равной степени применимы и к квадратным пластинам. Кроме того, без
особого труда может быть решена задача о вынужденных колебаниях
прямоугольной пластины со свободно опертыми краями. Отметим также, что не
встречаются особые математические трудности при исследовании колебаний
прямоугольной пластины, две противоположные стороны которой свободно
оперты, а две другие либо не закреплены, либо жестко защемлены *.
Однако гораздо более сложными являются задачи исследования колебаний
пластин, все стороны которых не закреплены или жестко защемлены. Как
обнаружилось, очень удобен при решении таких задач метод Релея-Ритца14,
**. Для того чтобы воспользоваться этим методом, положим
где Z - функция х и у, приближенно описывающая форму колебаний.
Подставляя представление (д) в выражения (5.174) и (5.175),
* Voigt W.' Problem der transversalen Schwingungen rechteckigen Platten.
- Nachrichten von der Koniglichen Gesselschaft der Wissenschaften zu
Gottingen, 1893, N. 6, S. 225-230.
** Ritz W. Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte
mit freien Randern. - Annalen der Physik, 1909, B. 28, N. 4, S. 737-786.
Точность метода Релея - Ритца обсуждалась в работе Toma'.ika S. Vibration
of a square plate clamped at four edges. - Phil. Mag., Ser. 7, 1936, v.
21, N. 142, pp. 745- 760. См. также работу Weinstein A., Chien W. Z. On
he vibrations of clamped plate under tension. - Quart. Appl. Math., 1943,
v. 1, N. 1, pp. 61-68.
(5.178)
(5.179)
v = Z cos (pi - a),
(Д)
447
Получим следующие выражения для максимальных значений потенциальной и
кинетической энергий при колебаниях:
Приравнивая эти выражения друг другу, для частоты р2 найдем выражение
каждый член которого удовлетворяет условиям на границе пластины. Далее
необходимо определить такие значения коэффициентов аи а2, а3, ...,
которым соответствовало бы минимальное значение квадрата частоты (5.180).
Таким путем приходим к системе уравнений типа
линейных относительно постоянных аъ а2, а3, ... Приравнивая нулю
определитель этих уравнений, найдем частотное уравнение для пластины.
В. Ритц применил этот метод к исследованию колебаний квадратной пластины
с незакрепленными краями *. Ряд (е) в этом случае был взят в виде
где Хт (х) и Yn (у) - нормальные функции задачи о поперечных колебаниях
призматического стержня с незакрепленными кон-
* См. ст. В. Ритца, цитированную выше. Применение метода Релея - Ритца
для ряда других граничных условий показано в работе Young D. Vibration of
rectangular plate by Ritz method. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1950, v.
17, N. 4. pp. 448-453.
z, dxdy
2
^ max
(5.180)
Возьмем теперь функцию Z в виде следующего ряда: Z = (х, у) +
айФ2 {х, у) +
+ а3Ф3 (х, у) + ...,
(е)
+ 2d -vK-~?wY ~J^rz2}dxdy = 0' <5Л81)
z= 2 HlamnXm(x)Yn(y),
(е')
т п
448
Рис. 5.40
цами (см. п. 5.11). Частоты различных форм колебаний можно определить по
формуле
"=¦5- VJ- <5Л82>
где а - постоянная, зависящая от формы колебаний. Для трех низших форм
эта постоянная имеет следующие значения *: =
= 14,10; сс2 = 20,56; а3 = 23,91. Узловые линии для соответствующих форм
колебаний15 показаны на рис. 5.40, а-в.
Круговые пластины. Задача колебания круговой пластины была решена Г.
Кирхгофом **, который определил частоты нескольких форм колебаний пластин
с незакрепленным контуром. Точное решение этой задачи выражается через
функции Бесселя. Ниже излагается приближенное решение, получаемое методом
Релея-Ритца, который для низших форм колебаний обычно дает достаточную
