Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
также встретиться с еще более сложной задачей связанных крутильных и
изгибных колебаний несимметричных стержней переменного поперечного
сечения. Подобные задачи возникают, например, при исследованиях колебаний
турбинных лопаток, крыльев самолетов и воздушных винтов. При решении
указанных задач обычно применяют численные методы.
5.22. КОЛЕБАНИЯ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ
Задача о колебаниях кругового кольца является составной частью
исследований колебаний различных деталей конструкций с вращающимися
узлами круговой формы. Ниже приведено обсуждение нескольких несложных
задач о колебаниях кругового кольца постоянного поперечного сечения в
предположении, что размеры поперечного сечения кольца малы по сравнению с
радиусом г центральной линии (рис. 5.33, а). Предполагается также, что
плоскость ху, в которой лежит кольцо, является плоскостью симметрии
каждого его поперечного сечения.
* Подобным способом были исследованы связанные изгибно-крутильные
колебания консольных стержней в работе Garland С. F. Normal modes of
vibrations of beams having noncolinear elastic and mass axes. - Trans.
ASME. J. Appl. Mech., 1940, v. 7, N. 3, pp. 97-105.
** Дифференциальные уравнения для общего случая были рассмотрены в работе
Federhofer К. Berechnung der Drehschwingungen eines Kreiszylinders. -
Sitz.-Ber. Akad. Wiss., Wien, 1947, Abt. На, B. 156, S. 573-582.
430
а)
В)
Рис. 5.33
Колебания растяжения-сжатия. Простейшей формой колебаний типа растяжения
- сжатия является форма, при которой центральная линия кольца образует
кольцо с периодически изменяющимся радиусом, а все поперечные сечения
перемещаются в радиальном направлении без поворотов (рис. 5.33, б).
Обозначим через и перемещение в радиальном направлении (за положительное
берется направление наружу) произвольной точки кольца. Тогда
относительное удлинение кольца в окружном направлении (деформация
растяжения) равно и/г. Потенциальная энергия деформации, представляющая в
данном случае энергию простого растяжения, будет представляться следующим
выражением:
U = 2лг'
где F - площадь поперечного сечения кольца. Далее кинетическую энергию
движений при колебаниях можно записать в виде
Т = Ц-йЧкг. (б)
Приравнивая максимальные значения потенциальной и кинетической энергий и
используя равенство "шах = pumax , получим
Таким образом, находим частоту основной формы колебаний растяжения-сжатия
(см. рис. 5.33, б)
= & = <М61>
Круговое кольцо имеет и другие формы колебаний растяжения-сжатия, которые
напоминают формы, образующиеся при продольных колебаниях призматических
стержней. Если i - число волн, расположенных по окружности, то частоты
высших форм колебаний
431
Рис. 5.34
типа растяжения-сжатия кольца определяем по следующей формуле *:
При г' = 0 это выражение совпадает с формулой (5.161) для чисто
радиальных колебаний.
Крутильные колебания. Теперь рассмотрим основную форму крутильных
колебаний. При таких колебаниях центральная линия кольца остается
недеформированной, а все его поперечные сечения поворачиваются на один и
тот же угол ф (рис. 5.34). При таких поворотах точка, расположенная на
расстоянии z от срединной поверхности кольца, переместится в радиальном
направлении примерно на величину гф, при этом соответствующую окружную
деформацию можно положить равной гф/r. Потенциальная энергия деформации
кольца может быть определена в этом случае из выражения
U = 2лг J -|- (-^)2 dF = KEIf* , (г)
F
где 1Х - момент инерции поперечного сечения относительно оси х.
Кинетическая энергия кольца при крутильных колебаниях
Т = 2nr ф2, (д)
где /п - полярный момент инерции поперечного сечения.
Приравнивая друг другу Umax и Ттах и учитывая равенство
Фшах = РФтах> НЗИДеМ
Р = V Е1х/рг21п. (е)
Тогда частоту крутильных колебаний можно определить по
формуле
<5Л63)
* Love А. Е. Н. Mathematical theory of elasticity. 4th ed. Cambridge:
University Press, 1927, p. 454 (опубликован перевод: Ляв А.
Математическая теория упругости. М. - Л.: Гостехиздат, 1935. 674 с.).
432
Сравнивая эту формулу с формулой (5.161), видим, что частоты крутильных и
чисто радиальных колебаний относятся, как
V V Ai-
Дл я кольца с поперечным сечением круговой формы частоты крутильных форм
колебаний определяем по следующей формуле *:
t>=i(5Л64>
Учитывая равенство V E/(pr2) = air, где а - скорость распространения
звука вдоль кольца, видим, что рассмотренные выше колебания с
растяжением-сжатием и крутильные колебания, как правило, имеют высокие
частоты. Намного более низкие значения частот будут получаться при
рассмотрении изгибных колебаний кольца.
Изгибные колебания кругового кольца распадаются на два класса, а именно:
изгибные колебания в плоскости кольца и изгибные колебания, включающие
как перемещения под прямым углом к плоскости кольца, так и кручение.
Рассмотрим изгибные колебания в плоскости кольца (см. рис. 5.33,
а) и введем следующие обо-
значения: 0 - угол, определяющий положение точки на кольце; и -
радиальное перемещение (за положительное принимается направленное
