Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
мембран.
Прямоугольные мембраны. Пусть а и b - стороны прямоугольной мембраны,
показанной на рис. 5.35. Независимо от вида функции координат v в
пределах прямоугольной области ее всегда можно представить в виде
двойного ряда
где коэффициенты cpmn являются функциями времени. Легко видеть, что
каждый член ряда (в) удовлетворяет граничным условиям, а именно: при х -
0 и х = а имеем " = 0и при у = 0 и у = b имеем
Тогда приращение потенциальной энергии будет равно
(а)
Кинетическая энергия колеблющейся мембраны
(б)
ОО ' оо
(в)
т=1 п-I
436
v = 0. Подставляя представление (в) в выражение (а) для приращения
потенциальной энергии, получим
о 0 * \m=l п=1 /
-m=1 п- 1 ' '
Проинтегрировав это выражение по площади мембраны, с учетом приведенных в
п. 1.1 равенств найдем
оо оо
<г>
т-1 п-1
Аналогичным образом можно с помощью выражения (б) вычислить кинетическую
энергию
г=^ЁЁ*- (Д)
т=1 1
Сила инерции, действующая на малый элемент мембраны, равна
- {wig) v dxdy. Поступая, как и выше, и взяв возможное перемеще-
ние в виде 8vmn = 6фтп sin (rrmx/a) sin (пку/b), получим дифференциальное
уравнение движения в главных координатах при свободных колебаниях
wab ¦¦ , с аЬл2 / т2 . л2 \ Л .
4^ Фтл ~Ь ^ 4 у а2 ~Ь ) Фтл 0" (е)
отсюда следует
= (-$- + ?)¦ (5.167)
Частоту колебаний по основной форме получим, положив т = = и = 1, что
дает
'"'Т^тО+ж)' (5.168)
Изогнутая форма мембраны в этом случае определяется первым членом ряда
(в):
. лх , ли , .
V - С sm-^- sln -Ц~. (ж)
Как видно из уравнения (е), подобные члены ряда (в) представляют
нормальные функции для рассматриваемого случая. Если мембрана является
квадратной в плане (а = Ь), частота, соответствующая низшей форме
колебаний:
Рис. 5.36
Эта частота прямо пропорциональна квадратному корню из усилия S и обратно
пропорциональна длине а и квадратному корню из веса w единицы площади
пластины.
Следующие две высшие формы колебаний получим, положив одно из чисел т или
п равным 2, а другое 1. Эти две формы имеют одну и ту же частоту (при а =
Ь), но различные конфигурации. На рис. 5.36, а и б показаны узловые
линии13 для этих двух форм колебаний (на этих линиях прогибы при
колебаниях равны нулю). Поскольку, как уже говорилось выше, эти частоты
совпадают, интересно посмотреть, что получится при наложении данных
поверхностей друг на друга, если задавать различные отношения их
максимальных прогибов. Получающаяся в результате наложения комбинация
имеет вид
. 2лх . пи , п . пх . 2лу
v = С sin sm -- 4- D sin - sin --,
a a 1 a a
где С и D - произвольные малые постоянные. Четыре частных случая подобных
комбинированных колебаний показаны на рис. 5.36, а-г. Положив D = 0,
получим случай колебаний, упоминавшийся выше и представленный на рис.
5.36, а. Колеблющуюся мембрану разбиваем на две равные части узловой
линией, параллельной оси у. При С = О мембрану разбиваем на две части
узловой линией, параллельной оси х, как показано на рис. 5.36, б. При С =
D получаем
, 2пх , пу , , пх , 2пу \
v = С ( sin sin - + sin - sin -- ) =
\ a a a a /
nx , ny / nx . ny \
- 2С sin - sin -2- ( cos b cos - ).
a a \ a ' a /
Это выражение принимает нулевые значения при sin (nxla) = О или sin
(пу/а) = 0, а также при cos (nxla) + cos (лу/b) = 0.
Первые два уравнения имеют в качестве решения границы мембраны, а из
третьего уравнения получаем лх/а = л - (лу/а) или х + + у = а.
Это равенство является уравнением одной диагонали квадрата (см. рис.
5.36, в). С другой стороны, на рис. 5.36, г представлен случай, когда С =
-D. Каждую из половин мембраны, образующихся
438
в двух последних случаях, можно рассматривать как независимо колеблющуюся
треугольную мембрану. Частоту любой из показанных на рис. 5.36, а-г форм
колебаний находим по формуле (5.167), что дает
f=4-V€{4f+-k)=iVW- <5Л70>
Точно также можно рассмотреть высшие формы колебаний квадратной или
прямоугольной мембраны*.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания, для которых дифференциальное
уравнение движения (е) имеет вид
wab - , о аЬл2 / т2 , п2 \ ^ , .
4g Фтл ~Ь ^ \~а? ^ Ь2) ^тп Qniri' (^)
где Qmn выбирается таким образом, чтобы произведение Qm"Scpm"
представляло возможную работу возмущающих сил в главных координатах. В
качестве примера возьмем гармоническую силу Pi (0 = Р cos соt,
приложенную в центре мембраны. Вводя возможное перемещение 6wmn мембраны
[см. выражение (в)], найдем совершаемую силой возможную работу
6 WP = Р cos co(8cpmn sin (тп/2) х
XSin (пя/2) Qmn^Tmn*
Из этого выражения видно, что когда тип - нечетные числа, то имеем Qmn =
+Р cos соt, в противном случае Qmn = 0. Учитывая это, из уравнения (з) с
помощью интеграла Дюамеля получаем
t
= ± abwp-J Sin Р(tm) C0S dV =
о
4 sP
= (C°S _ C°S РтпЦ (И)
где тип - нечетные числа;
gSri
2 _ gbn* / tn2 п2\
Ртп w \ а2 ' Ь2 ) '
Подставляя выражение (л) в представление (в), получим общее решение для
рассматриваемого случая.
Когда на мембрану действует распределенная возмущающая сила Q (х, у, t),
