Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
наружу); v - окружное перемещение (за положительное принимается
направление в сторону увеличения угла 0); / - момент инерции поперечного
сечения относительно своей главной оси, перпендикулярной плоскости
кольца.
Обусловленное перемещениями и и v относительное удлинение в произвольной
точке, расположенной на центральной оси кольца:
и . 1 до , .
г = - + - Ж' (ж>
а изменение кривизны можно представить соотношением **
1 1 дги и
г + Аг г г2 дб2
(3)
Для самого общего случая изгибных колебаний в плоскости кольца радиальное
перемещение и можно представить в виде тригонометрического ряда ***
и = ах cos 0 + аа cos 20 Н (- b1 sin 0 +
-h sin 20 Ч , (и)
* См. цитированную выше кн. Love А. Е. Н. Mathematical theory of
elasticity, p. 453.
** Это соотношение было получено Ж. Буссинеском. См. Boussinesq J.
Resistance d'un anneau a la flexion, quand sa surface exterieure supporte
une pression nor-male constante par unite de longueur de sa fibre
moyenne. - Comptes rendus des seances de l'Academie des Sciences, 1883,
t. 97, N. 15, p. 842-848.
*** Постоянный член этого ряда, соответствующий чисто радиальным
колебаниям, здесь опущен.
433
где коэффициенты аг, а2, ..., Ьъ Ь2, ... являются функциями времени.
Рассматривая изгибные колебания без растяжения *, положим е = 0. Тогда из
выражения (ж) следует
Подставив представление (и) в выражение (к) и проинтегрировав результат,
найдем **
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении кольца определяем
выражением
Подставляя ряд (и) в выражение (н) и используя равенства
* Обсуждение изгибных колебаний с учетом растяжения см. в работах Ф.
Уолткинга (Waltking F. W. Schwingungszahlen und Schwingungsformen von
Kreisbogentragern. - Ingenieur-Archiv, 1934, B. 15, N. 6, S. 429-449) и
К. Фе-дергофера (Federhofer К. Uber die Eigenschwingungen des senkrecht
zu seiner Ebene Schwingenden Kreisbogens.-Sitz.-Ber. Akad. Wiss. Wien,
1936, Abt. Ila, B. 145, S. 29-50). _ ,
** Постоян нукГинтегрирования, соответствующую вращению кольца в своей
плоскости как абсолютно жесткого тела, здесь опускаем.
434
и = -dvld 0.
(к)
v= - tfxSin 0 y а2 sin 20 - • • • [
f Ьг cos0 -j- -2-62cos20 + • • •
(л)
(м)
откуда находим потенциальную энергию изгиба
2Л
(Н)
о
о
о
о
получим
о
о
оо
(О)
Кинетическая энергия колеблющегося кольца
2Я
(п)
о
Подставляя выражения (и) и (л) для и и v в выражение (п), найдем
00
T = ^f-2(1 +_L)(d? + 6i).
(р)
i=i
Используя уравнение Лагранжа для консервативной системы * и обобщенных
координат аг, получим следующее дифференциальное уравнение движения:
Такое же уравнение получаем и для обобщенной координаты 6,. Отсюда
находим, что частота колебаний по i-й форме
При i = 1 получаем /у = 0. В этом случае и = ах cos 0 и v = = ах sin 0, и
кольцо движется как абсолютно жесткое тело. Как видно из рис. 5.33, в,
коэффициент ах определяет движение как абсолютно жесткого тела в
направлении оси х. При i = 2 имеет место основная форма изгибных
колебаний кольца. Формы кольца при крайних положениях, соответствующие
таким колебаниям, показаны на рис. 5.33, г штриховыми линиями.
В случае изгибных колебаний кольца с поперечным сечением круговой формы,
когда учитываются как перемещения, направленные под прямым углом к
плоскости кольца, так и кручение, частоты ocHOBHbix^opMf колебаний можно
оп редел ить^с'помощью формулы**
где v - коэффициент Пуассона. Сравнивая формулы (5.165) и (5.166), видим,
что даже для низшей формы (? = 2) колебаний из рассмотренных двух видов
изгибных колебаний частоты различаются, но незначительно.
Двумерным аналогом предварительно растянутой колеблющейся нити (или
струны), рассмотренной в п. 5.8, является предварительно растянутая
мембрана 12. В последующем обсуждении предполагается, что мембрана
является идеально гибкой, тонкой и постоянной толщины. Кроме того, она
растянута одинаковым во всех направлениях и настолько большим равномерно
распределенным усилием,
* См. Timoshenko S., Young D. H. Advanced dynamics. - New York: McGraw-
Hill Book Co., 1948, p. 212.
** См. цитированную в п. 5.22 кн. Love А. Е. Н. Mathematical theory of
elasticity, p. 453.
nrpF ( 1 + -1.) fit + -^-(1 - i2)2at = 0
или
(С)
(5.165)
(5.166)
5.23. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН
435
У
что можно пренебречь малыми изменениями этих усилий, обусловленных малыми
прогибами, возникающими при колебаниях. Взяв за плоскость мембраны
плоскость ху, введем следующие обозначения: v - перемещение произвольной
точки мембраны в направлении, перпендикулярном плоскости ху, S -
равномерное удельное растягивающее усилие,
а
S
¦ft
S
х приложенное на границе (рис.
5.35); w - вес единицы площади
s
Рис. 5.35
мембраны.
¦ Приращение потенциальной
энергии изогнутой мембраны можно найти, умножив равномерное растягивающее
усилие S на приращение площади мембраны. В изогнутом положении площадь
поверхности мембраны
Для малых прогибов это выражение можно приближенно взять в виде
Ниже будут исследованы динамические характеристики различного вида
