Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
может иметь также такие формы, при которых образуются один, два, три и т.
д. диаметров круга, называемых узловыми диаметрами, на которых прогибы
при колебаниях равны нулю. Несколько форм колебаний круговой мембраны
показаны на рис. 5.38, где узловые окружности и узловые диаметры
изображены штриховыми линиями.
Во всех случаях величину pns, представляющую собой частоту, можно
выразить в виде
= (5-172)
Значения входящих в эту формулу постоянных ans приведены в табл. 5.1 *,
где п - число узловых диаметров, s - число узловых окружностей.
(Граничная окружность входит в число последних).
5.1. Значения ans для круговой мембраны
s n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n - 4 n - 5
1 2,404 3,832 5,135 6,379 7,586 8,780
2 5,520 7,016 8,417 9,760 11,064 12,339
3 8,654 10,173 11,620 13,017 14,373 15,700
4 11,792 13,323 14,796 16,224 17,616 18,982
5 14,931 16,470 17,960 19,410 20,827 22,220
6 18,071 19,616 21,117 22,583 24,018 25,431
7 21,212 22,760 24,270 25,749 27,200 28,628
8 24,353 25,903 27,421 28,909 30,371 31,813
В предыдущих обсуждениях предполагалось, что мембрана представляет
сплошной круг и что она закреплена только на граничной окружности.
Полученные выше результаты также могут быть использованы в качестве
решения других задач, таких, как мембраны, ограниченные двумя
окружностями и двумя радиусами, или мембраны в форме секторов.
Рассмотрим, например, мембрану в форме половины круга. Все возможные
формы колебаний этой мем-
* Приведенные в табл. 5.1 данные взяты из работы М. Бурже. См. Воиг-get
М. J. Memoire sur mouvement vibratoire des membranes circulaires. -
Annales scientifiques de 1'ecole normale superieure, 1866, t. 3, S. 55-
95.
15*
443
браны будут входить в число тех форм, которые образуются при колебании
круговой мембраны. При этом необходимо только один из узловых диаметров
круговой мембраны считать за жестко защемленную границу.
Когда граница мембраны несколько отличается от круговой, частота низшей
формы колебаний мембраны примерно равна частоте круговой мембраны,
имеющей ту же площадь и то же значение величины gS/w. В общем случае
формулу для определения частоты основной формы колебаний мембраны можно
взять в виде
р=аУ (5Л73)
где F - площадь мембраны. Ниже приведены значения постоянной а, стоящей в
этой формуле и показывающей влияние на частоту отношения от круговой
формы *:
Круг Квадрат Четверть круга Сектор круга с углом раствора 60°
Прямоугольник (alb = 3/2) Равносторонний треугольник Половина круга
Прямоугольник (alb =2/1) Прямоугольник (а/b = 3/1)
а = 2,404 Уп = 4,261 а = л/2 = 4,443 а=(5,135/2)/Кя = 4,551
а = 6,379 Кя/6 = 4,616 а = я V13/6 = 4,624 а = 2п Ktg 30° = 4,774 а =
3,832 Vп/12 = 4,803 а = п V5/2 = 4,967 а = я V10/3 = 5,736
В тех случаях, когда граница отличается от рассмотренных выше,
исследование колебаний представляет значительные математические
трудности. Однако для случая эллиптической границы имеется точное решение
**.
5.24. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
На рис. 5.39, а показана пластина постоянной толщины h, причем толщина ее
полагается малой по сравнению с другими размерами. Возьмем в качестве
срединной плоскости пластины плоскость ху и предположим, что прогибы малы
по сравнению с толщиной h. Кроме того, нормали к срединной плоскости
пластины остаются нормалями к деформированной срединной поверхности,
образующейся за счет прогибов при колебаниях.
Рассмотрим деформации тонкого слоя малого элемента, показанного в виде
заштрихованной площади, расположенной на расстоя-
* См. кн. Релея, цитированную выше.
** Mathieu Е. Memoire sur le mouvement vibratoire d'une membrane de forme
elliptique. -Journal de mathematique pures et appliquees (Liouville),
Ser. 2, t. 13, 1869, p. 137-203.
444
z
О
Рис. 5.39
нии z от срединной поверхности (рис. 5.39, б). Эти деформации можно
представить следующими соотношениями *:
В этих выражениях v обозначает прогибы (перемещения в направлении оси г)
пластины; гх, гу и уху - нормальные и касательная деформации тонкого
слоя. Напряжения, соответствующие этим деформациям, определяются
соотношениями **
где v - коэффициент Пуассона.
Потенциальная энергия, накопленная в заштрихованном слое малого элемента
при деформации:
* Предполагается, что срединная поверхность пластины не деформируется в
своей плоскости.
** См. Timoshenko S., Goodier J. N. Theory of elasticity. 3rd ed. - New
York: McGraw-Hill Book Co., 1970, 567 p. (опубликован перевод: Тимошенко
С. П., Гудьер Дж. Н. Теория упругости. - М.: Физматгиз, 1979. 560 с.).
d2v
ex-~z~fa2' гУ
d2v
Z~dy2'
Уху - 2z дхду .
(а)
dU = + dxdydz.
445
Подставляя сюда выражения (а) и (б), получим
Интегрируя выражение (в) по объему пластины, получим потенциальную
энергию изгиба
''=Ш'й'=тЩ(&У+(?)'+
+ 2'VW + 2{[~',)(-Sk1'}dxdy' <5Л74)
где D = Eh3/ [12 (1 -v2) ] - жесткость пластины при изгибе. Кинетическая
энергия поперечных колебаний пластины
T = &-\\v*dxdy, (5.175)
где ph - масса, приходящаяся на единицу поверхности пластины. Полученные
