Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве простого примера применения метода Релея возьмем случай,
представленный на рис. 1.1 и обсужденный в пп. 1.1 и 1.3. Если масса
пружины мала по сравнению с массой груза W7, на форму колебанйй не будет
существенно влиять масса пружины. С достаточной точностью можно
предположить, что перемещение хс произвольной точки пружины,
расположенной на расстоянии с от закрепленного конца (см. рис. 1.1, а),
будет таким же, как и в случае безмассо-вой пружины, что дает
хс - сх/1, (а)
где I - длина пружины в свободном состоянии.
Если, как и раньше, предположить, что перемещения изменяются линейно, то
потенциальная энергия будет такой же, как и в случае безмассовой пружины,
и поэтому здесь следует рассмотреть только кинетическую энергию системы.
Обозначим через w вес единицы длины пружины. Тогда масса элемента пружины
длиной dc будет равна w dc/g, а его кинетическая энергия составит (w
dc/2g) (cxmax/l)'2. Полная кинетическая энергия пружины
О
Эту величину следует сложить с кинетической энергией груза W, тогда
условие (1.13) равенства энергий принимает вид
Xrnax / iv7 I wl \ kXmax /"¦,
2 g VW + ~) ~ 2 '
Сравнивая это соотношение с равенством (и) п. 1.3, можно сделать вывод:
для того чтобы установить влияние массы пружины на период собственных
колебаний, необходимо прибавить только треть веса пружины к весу груза W.
Этот вывод, полученный в предположении, что перемещение пружины
изменяется по линейному закону, может с достаточной точностью
использоваться даже в тех случаях, когда вес пружины имеет тот же
порядок, что и вес W. Например, когда wl = 0,51F, ошибка приближенного
решения (см. п. 5.5) составляет примерно 0,5 %. Для wl - W и wl = 2W
сшибка примерно равна 0,8 и 3 %, соответственно.
В качестве второго примера рассмотрим случай колебания балки постоянного
поперечного сечения, в середине пролета которой рас-
* Rayleigh J. W. S. The theory of sound. London: Macmillan Co., v. 1:
1877. 326 p.; v. 2: 1878. 302 p. (опубликован перевод 2-го англ. изд.
1894, 1896: Стретт Дж. В. (Рэлей). Теория звука. М. -Л.: Гостехиздат, т.
1, 1940, 499 с.; т. 2, 1944. 476 с.; 2-е изд., 1955 - перевод 3-го англ.
изд. 1937),
38
положен груз весом W (рис. 1.15). Если вес wl балки мал по сравнению с
весом груза W, то можно с достаточной точностью предположить, что прогиб
балки при колебаниях имеет такую же форму, как и профиль кривой
статических прогибов при действии сосредоточенной нагрузки, приложенной в
середине пролета балки. Тогда, обозначая через ум максимальный прогиб в
середине пролета балки при колебании, можно выразить перемещение
произвольного малого элемента балки, расположенного на расстоянии х от
левой опоры, в виде
3xl2 ~4х3 , .
У Ум [3 • (г)
Максимальная кинетическая энергия самой балки
i
0 г w I . Зх/2 - 4х3 \2 17 . ум , ,
J ~2g~ \ I3 ) dX = lXwlW (Д)
О
Эту кинетическую энергию балки при колебаниях необходимо сложить с
энергией Wyh!2g груза, установленного в середине пролета балки, и таким
образом учесть влияние веса балки на период колебаний. В этом случае
период колебаний будет таким же, как и для невесомой балки, к которой
приложена нагрузка
W' = W + ~wl.
Даже для крайнего случая, когда W = 0 и в середине пролета балки
прикладывается эквивалентная сила, равная (17/35) wl, точность
приближенного метода оказывается достаточной для практических целей.
Прогиб балки при действии эквивалентной силы, приложенной в середине
пролета.
S 17 / 13
п = -zz-wl ¦
ст 35 48?7 '
Подставляя эту величину в формулу (1.3), найдем период собствен-.ных
колебаний
2п Y= 0,632 Yтп; ¦ (е)
39
w
dx
. - 1
Рис. 1.16
Точное решение (см. п. 5.10) в этом случае имеет вид
т = (2/л) V wl*/(Elg) = 0,637 V wlxj(EIg).
(ж)
Как видно, ошибка приближенного решения даже при таком ограниченном
подходе составляет менее 1 %.
В качестве третьего примера рассмотрим призматическую консольную балку,
на незакрепленном конце которой установлен груз весом W (рис. 1.16).
Предположим, что при колебаниях форма линии прогиба балки будет такой же,
как и в случае статического нагружения силой, приложенной на свободном
конце. Обозначив через г/м максимальное перемещение груза W, можем
определить кинетическую энергию балки /
f w / . 3х21 - х3 \ . 33 , г/м
J~2g~(yM 2/з }dx- [40 wl 2g . (3)
о
Период колебаний в этом случае будет таким же, как и период колебаний
невесомой консольной балки, к свободному концу которой приложена сила
33
W'^W
140
wl.
Эквивалентный груз весом 33/140 wl можно использовать даже и в тех
случаях, когда wl не является малой величиной. Применяя сказанное к
крайнему случаю, когда W = 0, получаем
бст = Но' wl {~ЗЁТ) •
В результате находим, что период колебаний (см. п. 5.11)
Видно, что ошибка приближенного решения составляет примерно 1,5 %.
В рассмотренных случаях поперечных колебаний балок с грузом предлагалось,
что формы балок при колебании были такими же, как формы кривых прогибов
при статическом приложении нагрузок. В предельном случае невесомой балки
