Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
= 3,2- 10~s м. Считать, что стержень является тонким, но абсолютно
жестким; массу троса не учитывать и модуль упругости при сдвиге взять G=
8,4-Ю10 Па.
Ответ: f = 0,781 с-1.
1.2.2. На рис. А.1.2.2 представлено устройство, с помощью которого весьма
удобно экспериментально определять момент инерции масс тел неправильной
формы. Оно состоит из двух параллельных пластин, соединенных таким
образом, что вся система действует как абсолютно жесткое тело, которое
присоединено к вертикальному стержню и внутрь которого может быть
помещено произвольной формы тело небольших размеров. Будучи пустотелым
(рис. А.1.1.2, а), этот крутильный маятник
//////
//////
//////
а)
61 в)
Рис. А. 1.2.2
имеет измеренный период т0. При помещении в это устройство тела с
известным моментом инерции 1г (рис. АЛ .2.2, б), которое начинает
колебаться вместе с маятником, период колебаний устройства равен тх.
Когда же в устройство помещают тело с неизвестным моментом инерции I
(рис. А.1.2.2, в), период колебаний маятника равен т2. Найти момент
инерции I последнего тела относительно оси вращения, т. е. относительно
оси стержня.
Ответ: 1 = 1, .
(ч-Ч)
29
1.2.3. Тонкий призматический стержень АВ (рис. А.1.2.3) весом W и
длиной / удерживается в горизонтальном положении шарниром за конец А и
пружи-
11 а ! 1 ^ ! i ! 1 1 ~1
Рис. А. 1.2.3
ной с жесткостью к за конец В. Найти период крутильных колебаний для
малых значений угловых перемещений ср стержня в вертикальной плоскости.
Массу пружины не учитывать и считать стержень абсолютно жестким.
Ответ: х - '.
1.2.4. Тонкий, но абсолютно жесткий стержень АВ (рис. А. 1.2.4) весом
W и длиной / закреплен в горизонтальном положении шарниром за конец А и
вер-
тикальной пружиной в точке С. Для случая малых амплитуд колебаний при
поворотах стержня в вертикальной плоскости вычислить период т колебаний,
если жесткость пружины равняется к и масса ее пренебрежимо мала.
Ответ: х = 2я - а
1.2.5. Определить частоты крутильных колебаний диска (рис. А.1.2.5),
если концы А и В вала жестко заделаны. Обе части вала имеют один и тот же
диаметр
V-.
У 3 kg
$1 н4- _ р
1 г^- ¦ > 1: с
Рис. А. 1.2.5
30
d, но длины их различны - /х и 12. Момент инерции массы диска равен /.
" f 1-1/' juPG(/x + /2)
Ответ: f=- ¦
1.2.6. Определить эквивалентную длину Lx прямого вала, имеющего ту же
крутильную жесткость С1Р что и шейки коленчатого вала, показанного на
рис. А.1.2.6. Плечи кривошипа СЕ и DF имеют жесткость при изгибе В.
Предполагается, что подшипники А и В имеют достаточный зазор, допускающий
свободное поперечное перемещение щек С и D при кручении коленчатого вала.
Палец кривошипа EF имеет жесткость С2, радиус кривошипа равен г.
Ответ: Lx = 2а + 6 + 2 г.
С 2 О
Рис. А. 1.2.6 Рис. А. 1.2.7
1.2.7. Два параллельных вала АВ и CD (рис. А.1.2.7) закреплены в
подшипниках и связаны друг с другом зубчатой передачей. На внешнем конце
каждого вала прикреплен массивный диск, и вся система совершает
крутильные колебания. Вычислить период колебания, если известны следующие
данные: /д = /д = = 116 Н-м-с-2, /х = /2 = 1,52 м, dx = d2= 7,62- 10_s м,
r-Jr2 = 1/2. Массу зубчатых колес и валов не учитывать. Модуль упругости
при сдвиге материалов обоих валов G= 8,4-1010 Па.
Ответ: т = 0,158 с.
1.2.8. Для той же системы, что рассматривалась в задаче 1.2.7, найти
общее выражение для длины Lx одиночного эквивалентного вала диаметром dlt
на концах которого укреплены диски А и D.
Ответ: Lx = /х +- (djd^)1 (r2lr^f /2.
1.2.9. Стальной обод круговой формы весом W и радиусом средней линии г
(рис. А. 1.2.9) прикреплен к неподвижной ступице радиуса г0 с помощью п
радиальных спиц, каждая из которых имеет значительное предварительное
натяжение с силой S0. Определить период крутильного колебания обода,
предположив, что растягивающее усилие в каждой спице остается неизменным
при колебаниях. Спицы шарнирно закреплены по концам и не сопротивляются
изгибу.
Ответ: т = 2я Л1 ^'-- .
У rigSar0
1.2.10. Платформа с растяжками из примера 3, п. 1.1 (см. рис. 1.6), имеет
вес W =
= 1,75-105 Н, равномерно распределенный по платформе. Определить период
крутильных колебаний системы относительно вертикальной оси, проходящей
через центр тяжести.
Ответ: т = 0,0724 с. Рис. А. 1.2.9
31
1.3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Иногда удобнее использовать принцип сохранения энергии в колеблющихся
системах, где не происходит рассеивания энергии. С помощью подобного
подхода будет вновь получено уравнение движения при свободных колебаниях
системы с одной степенью свободы и установлено равенство максимальных
значений кинетической и потенциальной энергий при свободных колебаниях.
Используя энергетический подход, вновь проанализируем систему, состоящую
из пружины с массой (см. рис. 1.1, а). Если снова пренебречь массой
пружины, то кинетическую энергию системы можно представить в следующем
виде:
(а)
Потенциальная энергия системы в этом случае состоит из двух частей: а)
