Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
потенциальной энергии груза весом W, поскольку он располагается ниже
положения равновесия как исходного состояния, и б) энергии деформации,
накопленной в пружине при перемещении на величину х. Первая из указанных
двух энергий выражается в следующем виде:
Е" = -Wx. (б)
Для того чтобы подсчитать вторую часть энергии, рассмотрим представленную
на рис. 1.11 диаграмму, описывающую изменение силы 5 реакции пружины в
зависимости от перемещения х. В состоянии равновесия сила реакции пружины
равна W, при перемещении х эта сила равна W + kx. Таким образом, энергия,
накопленная в пружине при перемещении х,
Wx + kx2/2.
(в)
Суммируя энергии (а), (б) и (в) и учитывая, что их сумма должна быть
постоянной в соответствии с законом сохранения энергии, получим
Рис 1.11,
W
kx2
= const.
(г)
Поскольку в правой части соотношения (г) стоит постоянная величина,
скорость изменения во времени этой величины равна нулю; таким образом,-
имеем
d
~ЗГ
/ W х* , kx* \
{ g 2 2 )-
0. (д)
Выполнив в равенстве (д) дифференцирование и разделив результат)
32
на х, получим уравнение движении, в п. 1.1;
(W/g)x + kx =
аналогичное приведенному 0. (е)
Если требуется найти только собственную частоту колеблющейся системы, то
нет необходимости рассматривать полностью уравнение движения. Вместо
этого можно рассмотреть колеблющийся груз, показанный на рис. 1.1, а, в
состоянии покоя в одном из двух крайних положений; при этом суммарная
потенциальная энергия
Еп max := kxmaх/2, (ж)
а кинетическая энергия равна нулю. С другой стороны, когда груз проходит
состояние равновесия (при х = 0), имея при этом максимальную скорость,
его кинетическая энергия
г-. W Хтах / ч
¦Скшах-~~ 2 ' (3)
В этом случае потенциальная энергия равна нулю. Поскольку полная энергия
остается постоянной, максимальная кинетическая энергия, должна быть равна
максимальной потенциальной энергии. В результате имеем
?"г
(1.13)
Это простое соотношение является полезным при определении собственной
частоты или периода колебаний системы. Приравнивая для системы,
изображенной на рис. 1.1, а, величины (ж) и (з), получим
W Xmax kXmax / \
g ~Г~ ¦ w
Задавая гармоническое движение в форме, определяемой выражением
(1.6): х = A cos (pt - а); х = -Ар sin (pt -
а), видим, что
•^max == РХтах- (1-14)
Подставляя выражение для хгаах в соотношение (и), найдем частоту р = У
kg/W и период колебания т = а
= 2л У W/(kg), аналогичные полученным ранее в п. 1.1. Использование
соотношения (1.13) при расчете периода или частоты колебаний является
особенно удобным в том случае, когда имеется не простая, подобная
показанной на рис. 1.1, a система, а более сложная, состоящая из
нескольких колеблющихся частей. Такие случаи рассмотрены в приводимых
ниже примерах.
Пример I. Измеритель перемещений со-.гоит из корпуса, в котором находится
груз
весом W, установленный на пружине ''^7777777777777777777777777777^77
<рис. 1.12). Движения груза отнввительно Рис. 1.12
2 Тимошенко С. П. и др.
33
корпуса передаются стрелке ВО А, вращающейся вокруг точки О и соединенной
с другой пружиной k2, как показано на рисунке. Пренебрегая массой обеих
пружин, вычислить период свободных колебаний системы при условии, что в
ней имеет место простое гармоническое движение.
Решение. Пусть хм- максимальная скорость груза W при колебании. Тогда
соответствующая угловая скорость стрелки ВОА будет xM!b\ если /- момент
инерции массы этой стрелки относительно точки О, то полная кинетическая
энергия системы в равновесном положении
г, W Хм / X " ..
+ - м- -о - • W
2 62 2
Когда система находится в крайнем положении, что определяется
вертикальным перемещением хм груза W, на пружину k2 будет действовать
растягивающая сила cxMlb; при этом полная потенциальная энергия системы
Приравнивая согласно соотношению (1.13) выражения (к) и (л) и используя
для случая простого гармонического движения равенство (1.14) Хм= рхм,
найдем круговую частоту колебаний
Wig + //62
Период колебаний равен, соответственно, величине 2п, поделенной на правую
часть выражения (м).
Пример 2. Обратный маятник состоит из шара весом W, укрепленного на конце
абсолютно жесткого стержня ОА длиной /, который шарнирно закреплен в
точке О и поддерживается в вертикальном положении пружиной (рис. 1.13,
а). Пренебрегая массами пружины и стержня ОА, определить условие
устойчивости и круговую частоту малых колебаний маятника в плоскости
рисунка.
Рис. 1.13 -
34
Решение. Обозначим через фм (рис. 1.13,6) амплитуду простого
гармонического движения. В этом крайнем положении пружина имеет
удлинение, приблизительно равное афм, а груз W опускается вниз от своего
положения равновесия на расстояние
Л - / (1- cos фм)"-у- /фм. (н)
Отсюда потенциальная энергия системы в ее крайнем положении
Еп t
- /га 'фм y
(о)
Рис. 1.14 ¦ момент инерции груза
В вертикальном положении (см. рис. 1.13, а), где маятник имеет угловую
скорость фн, кинетическая энергия приближенно равна 0,5/ф^, где I- Wl'jg
