Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
считая свободные колебания несущественными *, получим так называемые
установившиеся вынужденные колебания, описываемые выражением
Множитель (P/k) sin at представляет собой перемещение, обусловленное
действием возмущающей силы Р sin at, если она приложена статически;
множитель 1/(1 -а*/р2) учитывает динамический характер этой силы.
Абсолютная величина этого множителя обычно называется коэффициентом
усиления 1
Видно, что коэффициент |3 зависит от отношения частот а/p, которое
получают делением навязываемой системе частоты возмущающей силы на
собственную частоту свободных колебаний системы. На рис. 1.22
представлена зависимость коэффициента Р от частотного отношения а/p, т.
е. в случае, когда частота возмущающей силы мала по сравнению с частотой
свободных колебаний, коэффициент усиления примерно равен единице, а
перемещения являются почти такими же, как в случае статического действия
силы Р sin at.
Когда отношение а/p достигает значения, равного единице, коэффициент
усиления и амплитуды вынужденных колебаний быстро возрастают и обращаются
в бесконечность при ш = р, т. е. в том случае, когда частота возмущающей
силы совпадает с частотой свободных колебаний системы. Этот случай
является условием резонанса. Бесконечное значение амплитуды вынужденных
колебаний означает, что если периодическая сила действует на колеблющуюся
систему
* Взаимодействие свободных колебаний с вынужденными будет обсуждаться в
следующем параграфе.
1 Прим. ред. пер. см. в конце кн.
(1.24)
(д)
54
всегда в соответствующее время и в соответствующем направлении, то
амплитуда колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности, при условии,
что отсутствует рассеивание энергии. В практических задачах всегда имеет
место рассеивание энергии, обусловленное демпфированием. Влияние
последнего на амплитуду вынужденных колебаний будет обсуждено ниже в п.
1.9.
Когда частота возмущающей силы становится больше частоты свободных
колебаний, коэффициент усиления вновь принимает конечное значение. Его
абсолютная величина уменьшается с ростом отношения со!р и стремится к
нулю, когда это отношение становится очень большим. Таким образом, когда
на тело действует с высокой частотой периодическая сила, она вызывает
колебания с очень малой амплитудой, и во многих случаях можно считать,
что при этом тело сохраняет стационарное положение.
Рассматривая знак выражения 1/(1 - со2//?2), видим, что во всех случаях,
когда выполняется условие со < р, это выражение является положительным и
перемещения массы при колебаниях имеют то же направление, что и
направление возмущающей силы. С другой стороны, во всех тех случаях,
когда со > р, это выражение является отрицательным и перемещение массы
имеет направление, противоположное направлению действия силы. В первом
случае говорят, что колебания совпадают по фазе с возмущением, а во
втором, что динамические перемещения происходят в противофазе.
В приведенном выше обсуждении величина возмущающей силы была
пропорциональна sin со/, но те же результаты были бы получены и в том
случае, если указанную силу считать пропорциональной cos со/. Кроме того,
вынужденные колебания могут возникать и при периодических движениях опор
(или движениях основания). Рассмотрим, например, подвешенный на пружине
груз (рис. 1.23) и предположим, что верхнему концу пружины задано
перемещение в вертикальном направлении по гармоническому закону
x,in ----- d sin со/. (е)
Если перемещение х подвешенного груза W измерять от положения равновесия
при хоп - 0, то удлинение пружины в произвольный момент времени / будет
составлять х - х0П 8СТ; возникающая в пружине сила, соответствующая этому
перемещению, равна k (х - хсл) + W. Таким образом, уравнение движения
подвешенного груза принимает вид
^-x = W-[W + k(x-x о,,)]. (ж)
Подставляя сюда выражение (е) для хип и используя
обозначения
р* = kg/W; qon = kgd/W, (з)
получим уравнение
х + р"-х = c/on sin со/, (1-25)
55
которое совпадает с уравнением (1.22' Следовательно, можно сделать вывод,
что задание верхнему концу пружины простого гармонического перемещения d
sin соt эквивалентно непосредственному приложению возмущающей силы (kd)
sin соt. Все приведенные выше рассуждения относительно решения уравнения
(1.22) применимы также и в этом случае, и поэтому в итоге можно сделать
вывод, что здесь также имеют место установившиеся вынужденные колебания,
определяемые выражением
d sin (о/ /, пс\
х = Т=Ъф- (1-2б)
Можно принять, что числитель d sin соt описывает движение сосредоточенной
массы, когда перемещение опоры происходит очень медленно (или
"статически"); наличие множителя 1/(1 - со2//?2) указывает на то
обстоятельство, что частота перемещения опоры не равна нулю. Таким
образом, для того чтобы вычислить установившуюся реакцию системы,
необходимо только рассмотреть перемещение массы, обусловленное
перемещением опоры.
В некоторых случаях удобнее иметь дело с ускорениями
опоры,
чем с ее перемещениями, так как для получения информации о дви-
