Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 16

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 178 >> Следующая

предположение является справедливым. Однако, когда балка имеет некоторым
образом рас-
40
пределенную массу, это предположение будет только приближенным. Если
упругую линию балки описывать некоторой разумной формулой, можно ожидать,
что в результате получится хорошее приближение к точному значению периода
колебаний. Разумеется, если задать точную форму, получим точное значение
периода колебаний. Для того чтобы продемонстрировать высказанную точку
зрения, рассмотрим снова свободно опертую балку (см. рис. 1.15) без учета
веса W. В этом случае известно (см. п. 5.10), что точная форма упругой
линии при колебаниях относительно положения равновесия описывается
следующим выражением:
лх , ,
У = Уи sin - . (л)
Как и раньше, через ум в выражении (л) обозначен максимальный прогиб в
середине пролета балки, у - прогиб в произвольной расположенной на
расстоянии х от левой опоры точке по оси балки.
Кинетическая энергия всей балки в положении равновесия i
" ( W / . лх \2 , wl Ум , ,
¦^кшах J 2g (r) } ) ~~2 2g 9
0
Чтобы подсчитать максимальное значение потенциальной энергии балки
относительно положения равновесия, воспользуемся следующим выражением *
для энергии изгибных деформаций:
Е =-f Ell-^-Xdx (н)
д шах - 2 J V dxz / '
О
Подставляя вторую производную выражения (л) в соотношение (н) и выполняя
интегрирование, найдем
с Е1л4 "2
•Г-птах- щз У м- (PI
В заключение, приравнивая выражения (л) и (о) согласно условию (1.13) и
учитывая, что имеет место равенство ум = рум, получим формулу для частоты
колебаний
р=*У-Щл- <м5>
Соответствующий период колебаний т = 2п/р, что приводит к точному
выражению (ж), полученному выше.
Как уже говорилось, ранее, выбор функций формы любого, но отличного от
точного вида будет приводить к приближенным значениям частоты или периода
колебаний. Очень хорошим вариантом выбора функции формы прогиба для балки
при колебаниях является
форма кривой прогибов, когда балка нагружена статически собст-
* См. с. 220 кн. Timoshenko S., Young D. H. Elements of strength of
materials, цитированной в п. 1.1.
41
венным весом. Для того чтобы пояснить эту мысль, рассмотрим также случай
ненагруженной свободно опертой балки и допустим, что к ней статически
приложена равномерно распределенная нагрузка w, обусловленная собственным
весом балки. Тогда получим следующую форму прогиба:
У = !/м-?т(х4 - 21х3 +Рх), (п)
где ум = 5wP/(384E/) - прогиб в середине пролета балки.
Кинетическая энергия балки при переходе через положение равновесия
i i
Ек шах = J У2 dx = j wy1 dx. (1.16)
О ^ О
Подставляя выражение (п) в соотношение (1.16), найдем
Ек max = 0,252 -у-рУы. (Р)
Максимальное значение потенциальной энергии балки относительно положения
равновесия можно получить, учитывая то обстоятельство, что внешняя
работа статически приложенной распределенной нагрузки от
веса равна энергии деформации при изгибе балки. В ре-
зультате имеем
/
Дцшах = | -7?-Wydx. (1.17)
0
Подставляя выражение (п) в соотношение (1.17) и выполняя интегрирование,
получим
Enmax = 0,320wlyM = 24,6-^-yl. (с)
Приравнивая выражения (р) и (с), приходим к следующей формуле:
Р = 9.87 ]/3?. (т)
Сравнивая этот результат с точным значением (1.15), видим, что имеет
место совпадение трех первых цифр.
Выражения (1.16) и (1.17) можно подставить в равенство (1.13) для энергий
с тем, чтобы получить для указанного типа задач общее выражение для р:
1 j 1
P2 = g \wydx j wy'-dx. (1.18)
О I о
Если погонная масса w изменяется по длине балки, то в выражении (1.18)
функцию w следует оставить под знаком интеграла, но в случае балок
постоянного поперечного сечения эта величина будет постоянной и в формуле
(1.18) ее можно сократить.
42
Необходимо отметить, Что упругая балка представляет собой систему с
бесконечно большим числом степеней свободы. Она, подобно струне, может
совершать колебания различного типа. При использовании метода Релея выбор
определенной формы для кривой прогибов эквивалентен введению некоторых
дополнительных ограничений, которые сводят исходную систему к системе с
одной степенью свободы. Подобные дополнительные ограничения могут только
увеличить жесткость системы, т. е. увеличить частоту колебаний. Таким
образом, во всех рассмотренных выше случаях приближенные значения частот
в силу того, что они определялись методом Релея, несколько превышают
точные значения *.
В случае крутильных колебаний (см. рис. 1.8) подобный приближенный метод
может быть использован для оценки влияния момента инерции вала на частоту
колебания всей системы. Пусть через i обозначен момент инерции массы
вала, отнесенный к единице его длины. Тогда, предполагая, что форма
колебаний такая же, как и у невесомого вала, получим, что угол поворота
поперечного сечения, расположенного на расстоянии х от закрепленного
конца вала, равен сер//, при этом максимальное значение кинетической
энергии малого элемента вала равно (idc/2) (сфтах//)2-
Кинетическая энергия для всего вала имеет вид
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed