Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
ф) (зге.)'*.,. (У)
о
Для того чтобы оценить влияние массы вала на частоту колебания,
необходимо это значение кинетической энергии сложить с кинетической
энергией диска. В результате получим, что период колебания будет таким
же, как и в случае невесомого вала, к концу которого присоединено тело
моментом инерции Г = / + И/З.
Крутильные колебания валов без установленных на них дисков можно
исследовать точно так же, как это было сделано для поперечных колебаний
балок. Следуя тем же выкладкам, которые привели к выражению (1.18) для
балок, получим аналогичное выражение для частоты колебания валов:
1 I 1
р2 = a j tcp dx [ t'cp2 dx, (1-19)
о I о
где ф - угол закручивания произвольной точки по оси, обусловленной
приложением распределенного крутящего момента, величина которого равна
величине at, отнесенной к единице длины вала. Через а обозначено угловое
ускорение, измеряемое в рад/с2.
Пример 1. Определить частоту собственных колебаний груза весом W,
установленного на балку АВ (рис. 1.17) постоянного поперечного сечения,
для следу-
* Обстоятельное обсуждение метода Релея можно найти в кн. Temple G. F.
J., Bickley W. G. Reyleigh's principle and its applications to
engineering. 2nd ed. New York: Dover Publication, 1956. 152 p.
43
ющих двух случаев: а) в предположении, что весом балки можно пренебречь;
б) с учетом веса балки и с помощью метода Релея.
Решение. Пусть а и ft - расстояния от груза до концов балки. Тогда прогиб
при статическом приложении нагрузки 8СТ = Wa?b2l(3lEI). Задавая жесткость
пружины выражением k = 31Е11(аЧ2) и пренебрегая массой балки, найдем
круговую частоту колебаний из следующего выражения:
V = V =V-
У 6СТ У W У Wa*
3 lElg_ b2
Для того чтобы учесть влияние массы балки, рассмотрим кривую прогибов
балки при действии статической нагрузки W. Прогиб в произвольной
отстоящей на расстоянии ? от опоры А точке левого участка балки
уг = (WbVblEI) [а(/+ ft)- Е*].
Для прогиба в точке, произвольно расположенной справа от груза на
расстоянии г] от опоры В, имеем '
у2 = (War]/61EI) [b (1+ а)- г)2].
Используя метод Релея и предполагая, что при колебаниях максимальная
скорость произвольной точки, лежащей на левом участке балки, определяется
выражением
i/i _ .
ih - Уж'
ЧФЪ
где Уж - максимальная скорость груза W, получаем, что максимальная
кинетическая энергия этого участка
wya
2 g
2g J 4 a*b°-o
. 2 у м
wa Г
~wi
•p [¦
3ft2
+
23a2
Sal
105ft2 15ft2
(Ф)
Точно также рассматривая правый участок балки, находим максимальную
кинетическую энергию
,2 wb Г (1 + a)2 ft2 ft (/+ а) 1
2g L 12а2 + 28а2 10а2
(х)
Таким образом, для рассматриваемой задачи условие (1.13) равенства
энергий принимает вид
W -(- a wa -f- fiwb 2g
куй
44
где а и Р обозначают величины, стоящие в квадратных скобках
соответственно выражений (ф) и (х). Используя соотношение для круговой
частоты колебаний, получим следующую формулу:
'' (W -j- etaw -j- §bw) а2Ь2
3 lEIg
(Ц)
Пример 2. Для призматической консольной балки (см. рис. 1.16) при W = = 0
с помощью метода Релея найти приближенное значение периода собственных
поперечных колебаний. Считать, что форма балки при колебании совпадает с
кривой статических прогибов, обусловленных весом балки.
Решение. Для равномерно распределенной поперечной нагрузки интенсивностью
w, действующей на балку, статический прогиб в точке, отстоящей на
расстоянии х от заделанного конца:
где ум= wP!(8El) - прогиб на незакрепленном конце. Подставляя выражение
(ч) в представления (1.16) и (1.17) и интегрируя, найдем
52wl о о
Точное значение для периода основного тона колебаний определяется
выражением (к), откуда видно, что приближенное решение методом Релея дает
ошибку порядка 0,5 %.
1.4.1. Для консольной балки, показанной на рис. 1.16, методом Релея
вычислить период поперечных колебаний для предельного случая, когда W =
0, т. е. для однородной балки без нагрузки на свободном конце. Форму
балки при колебаниях задать в следующем виде:
гДе Ум - прогиб на свободном конце. Отметим, что выбор формы указанного
приближенного вида дает ошибку при определении колебаний порядка 4 %.
1.4.2. Для случая, когда показанная на рис. 1.15 балка имеет оба
конца не свободно опертые, а защемленные, определить, какую часть ее
полного веса следует
(ч)
(ш)
Еп max - -g- ум = "-gjg"' Ум.
wl 8EI 2
(Щ)
Приравнивая соотношения (ш) и (щ), получим частоту колебаний
и соответствующий ей период колебаний
(Э)
ЗАДАЧИ
45
прибавить к весу груза W, установленного в середине пролета, при
нахождении периода собственных поперечных колебаний. Считать, что форма
балки при колебаниях совпадает с кривой статических прогибов при действии
нагрузки W.
Ответ: 13/35.
1.4.3. С помощью метода Релея определить период свободных поперечных
колебаний балки постоянного поперечного сечения, весом wl и с изгибной
жесткостью ?/, если, как и в предыдущей задаче, оба конца балки
защемлены. Предполагается, что при колебаниях балки форма ее прогибов
