Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
ротором турбины - на другом *.
Если два диска закрутить в противоположных направлениях, а затем внезапно
отпустить, то возникнут крутильные колебания. Из принципа сохранения
момента количества движения следует, что при таких колебаниях диски
всегда должны вращаться в противоположных направлениях. Таким образом,
имеется некоторое промежуточное поперечное сечение, расположенное в точке
Р на оси вала (см. рис. 1.9), которое остается неподвижным. Это
поперечное сечение называется узловым сечением. Его положение определяют
из следующего соображения: оба диска должны иметь один и тот же период
колебаний, поскольку в противном случае не будет выполняться условие, что
они вращаются в противоположных направлениях.
Применяя формулу (1.9) к обеим подсистемам, примыкающим с двух сторон к
узловому сечению, получим
?ц! 11
&К2 12
или
(е)
где kKi и kK2 являются жесткостями при кручении соответственно для левой
и правой частей вала. Их величины, как видно из формулы (в), обратно
пропорциональны длинам соответствующих частей вала, что в соответствии с
соотношениями (е) дает alb = /2//х. Поскольку справедливо а + b = I, то
имеем
а = /Е2/(/х -J- /2); b = 4" 1г). (ж)
Применяя формулы (1.9) и (1.10) к левой части системы, получим
321/^2
f
2п
nd*G (/i + /2) + >*)
32//j/2
(1.11)
(1.12)
С помощью этих формул можно подсчитать период и частоту крутильных
колебаний, если известны размеры вала, модуль упругости
* Это была одна из самых ранних проблем, столкнувшись с которой инженеры
обнаружили необходимость исследования крутильных колебаний.
27
при сдвиге G и моменты инердии масс дисков, закрепленных на концах вала.
В приведенных рассуждениях масса вала не учитывается, ее влияние на
период колебаний будет рассмотрено ниже в п. 1.4.
Как видно из соотношений (ж), если один из двух вращающихся дисков имеет
очень большой момент инерции массы по сравнению с моментом другого диска,
то можно положить, что узловое сечение совпадает с положением большего
диска, и таким образом система с двумя дисками (см. рис. 1.9) сводится к
системе только с одним диском.
Пример 1. Предположим, что два диска, установленные на концах вала (см.
рис. 1.9), имеют веса Wx = 4,54-103 Н, W2 = 9,08-103 Н и диаметры Dx =
1,27 м, Ь2 = 1,9 м. Длина вала 1= 3,05 м, диаметр d = 0,1 м, модуль
упругости его материала G= 8,4-Ю10 Па. Определить частоту свободных
крутильных колебаний системы. Как изменится эта частота, если на длине
1,6 м диаметр вала изменить от 0,1 м до 0,2 м?
Решение. Подставляя заданные числовые значения в формулу (г), определим
моменты инерции масс дисков:
h
4,54-103-1,27 8-9,81
73,5 Н-м-с2; /2 =
9,08-103-1,9 8-9,81
219,8 Н-м-
Используя эти значения, а также исходные данные для вала, по формуле П.
12) получаем
/
- V-
2л V
0,0001 -8,4-1010 (73,5 + 219,8) 32-3,05-73,5-219,8
= 11,15 с"1.
Если диаметр вала увеличить от 0,1 до 0,2 м на длине 1,6 м, то длина
эквивалентного вала диаметром 0,1 м в соответствии с формулой (д) будет
Lx = 1,45 + + 1,6-0,14/0,24 = 1,45 + 0,1 = 1,55 м. Поскольку эта длина
составляет половину от первоначальной длины 3 м, а частота обратно
пропорциональна квадратному корню из длины [см. формулу (1.2)], то
получаем, что в результате усиления вала частота увеличивается в 1^2 раз.
Пример 2. Маховик имеет массивный обод весом W и средним радиусом R,
прикрепленный к ступице четырьмя призматическими спицами (рис. 1.10, а).
Найти период свободных крутильных колебаний обода относительно
центральной оси,
проходящей через точку О, при внезап ной остановке ступицы. Массу спиц не
учитывать и принять, что каждая спица имеет длину R и жесткость при
изгибе В.
Решение. Пусть, как показано на рисунке, обод поворачивается на малый
угол ф. Каждая спица ведет себя как балка, один конец которой жестко
заделан в ступице, а другой вынужден перемещаться вместе с ободом. К
внешнему концу спицы приложены поперечная сила Q и изгибающий момент М
(рис. 1.10,6). Применяя известные соотношения для жесткостей балки,
получим
Q = 12В MR3 - 65ф/Я2; (з)
М = 65 Д/Я2 - 45ф/Я. (и)
Если обод считать абсолютно жестким, то касательная, проведенная к
упругой линии в точке на внешнем конце спицы, должна быть направлена
вдоль радиуса,
28
Таким образом, поперечная сила Q и изгибающий момент М связаны с углом
поворота ф простым геометрическим соотношением А " R<p. Подставляя это
соотношение в зависимости (з) и (и), найдем
Q = 6B<(/R2; М = 2B(f/R. (к)
Суммарный момент, действующий на обод:
Мс = 4 QR -4 М= 16Вф/Я. (л)
Тогда, очевидно, жесткость при кручении в этом случае
kK= Мс/ф = 16 В/R. (м)
Подставляя это значение kK в формулу (1.9) и учитывая, что момент инерции
массы маховика определяется выражением I " WR2/g, получим
" ч Г wR3
х = 2лУ -Щв- <н>
ЗАДАЧИ
1.2.1. Определить частоту крутильных колебаний горизонтального стержня АВ
весом W - 18,2 Н и длиной а= 0,51 м, который прикреплен в середине
пролета к вертикальному стальному тросу длиной 1= 0,51 м и диаметром d =
