Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
большое
1
^ { " "Ч L )
ч L
Рис. А L.1.1.8
предварительное натяжение S. Составить дифференциальное уравнение
движения при малых поперечных колебаниях шара и показать, что при
постоянном натяжении троса рассматриваемое движение является простым
гармоническим. Чему в этом случае равен период колебаний?
Ответ: т = 2я \Ami/(2S).
1.1.9. Груз весом W поддерживается тремя пружинами, соединенными
последовательно подобно тому, как соединены две пружины на рис. 1.5, а.
Показать, что жесткость эквивалентной пружины
________________________
kiki -f k\k% -Г кфз
24
1.2. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рассмотрим показанный на рис. 1.8 упругий вал, верхний конец которого
жестко закреплен, а к нижнему прикреплен перпендикулярно оси вала
абсолютно жесткий диск круговой формы.
Подобная система называется крутильным маятником. Если диск повернуть на
малый угол относительно оси вала и затем отпустить, то крутящий момент,
появившийся при закручивании вала, приведет его в движение, и возникнут
свободные крутильные колебания. При этих колебаниях момент, передаваемый
на диск со стороны закрученного вала, пропорционален углу закручивания ср
и всегда действует в направлении, противоположном вращению диска. Так,
если через / чить момент инерции диска относительно оси вала, через ф вые
ускорения и через kK - крутящий момент
Рис. 1.8
обозна-- углоотнесенный к единице угла поворота (жесткость пружины при
кручении), то дифференциальное уравнение движения примет вид
/ф = - /гкср. (а)
Вводя обозначение
p* = kjl, (б)
уравнение (а) можно записать в виде
Ф+Р2Ф = 0- (1.7)
Это уравнение имеет вид, аналогичный уравнению (1.1) из предыдущего
параграфа, поэтому его решение будем искать в виде, аналогичном (1.5),
что дает
Ф = фо cos pt + (фJp) sin pt,
(1.8)
где ф0 и ф0 - соответственно угловое перемещение и угловая скорость диска
в начальный момент времени ^ = 0. Рассуждая так же, как и в предыдущем
параграфе, из выражения (1.8) получим период крутильных колебаний
а его частота
^Vic¦
V?-
i
2л
(1.9)
(1.10)
25
В случае вала кругового поперечного сечения длиной / и диаметром d
жесткость пружины при кручении можно определить по формуле *
, GJ nd4G , ,
к = ~Г = ~~Ш~ '
где G - модуль упругости материала при сдвиге. Через J обозначен момент
сопротивления кручению поперечного сечения вала, который в случае
поперечного сечения круговой формы равен полярному моменту инерции.
Жесткость пружины при кручении kK обычно измеряется в Н-м/рад.
Далее, если диск круговой формы является однородным и имеет диаметр D и
вес W, то момент инерции
/ = WDV(8g). (г)
Определив таким образом величины kK и /, период и частоту крутильных
колебаний можно вычислить по формулам (1.9) и (1.10).
В более сложном случае вала некругового поперечного сечения и тела
неправильной формы величины kK и / определяют более сложным образом.
Однако, если отсутствуют формулы для вычисления этих величин, то их
всегда можно найти экспериментальным путем. Для того чтобы колебание было
чисто крутильным, необходимо совпадение оси вала с главной осью тела,
проходящей через его центр тяжести. Однако, чтобы воспрепятствовать
другим движениям тела, необходимо ввести ограничения в виде подшипников.
Следует также отметить, что крутильные колебания могут возникать и в
таких системах, где отсутствуют крутильные деформации (см. пример 2 в
конце этого параграфа).
В последующем обсуждении полагаем, что вал на рис. 1.8 имеет постоянное
поперечное сечение диаметром d. Если вал имеет два участка с длинами 1Х и
12 и диаметрами dx и d2, соответственно, то по формуле (в) можно
подсчитать соответствующие этим участкам жесткости kKi и kK2 при
кручении. Затем, поскольку два участка вала представляют собой
последовательно соединенные пружины, работающие на кручение, жесткость
пружины эквивалентной системы можно найти из выражения (л) предыдущего
параграфа.
Случай ступенчатого вала можно рассмотреть иным путем. Если вал,
состоящий из двух участков, нагружен крутящим моментом М, то полный угол
закручивания вала находим из выражения М М 32М1Х . 32Ml2 _
32М / , . , d\ \
ф ~ Аь1 + kK2 nd*G лd*G ~ nd\G \ di )¦
Таким образом, видно, что угол закручивания вала с двумя диаметрами dj и
d2 равен углу закручивания вала с постоянным диаметром dj и приведенной
длиной Lb определяемой по формуле
Ei = l\ + hd-i/d*. (д)
* См. с. 72 в кн. Timoshenko S., Young D. H. Elements of strength of
materials, цитированной в п. 1.1.
26
с 0 э с ь s
•el
ах у XX
7777 ^ ^ ^ 7777
Рис. !. 9
Вал длиной и диаметром dl имеет ту же самую жесткость пружины, что и
данный вал с двумя различными диаметрами, и является эквивалентным валом
для указанного случая.
Рассмотрим теперь случай вала, опирающегося на работающие в условиях
отсутствия трения подшипники и несущего на концах вращающиеся вместе с
ним абсолютно жесткие тела (рис. 1.9). Случай представляет практический
интерес:в таком виде можно представить вал с пропеллером на одном конце и
