Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
тельно точки О. Таким образом, имеем
Ек max = (WP,'2g) фм.
Приравнивая выражения (о) и (п) и учитывая согласно (1.14), что фм ¦ дем
круговую частоту колебаний
I f
У I \Wl /•
W относи-
(п)
= /7фм, най-(Р)
Как видно из формулы (р), частота р имеет действительное значение, если
выполняется условие
kcfi > WL (с)
Если это условие не выполняется, вертикальное положение равновесия
маятника будет неустойчивым.
Пример 3. Абсолютно твердый цилиндр круговой формы весом W и радиусом г
перекатывается без трения по цилиндрической поверхности радиуса а (рис.
1.14). Предполагая, что перекатывающийся цилиндр совершает простое
гармоническое движение, найти круговую частоту колебания р при малых
амплитудах смещения относительно положения равновесия.
Решение. Рассмотрим цилиндр в крайнем положении, определяемом углом фм
(см. рис. 1.14). В этом положении центр тяжести цилиндра поднимается от
положения равновесия в направлении, противоположном действию силы
тяжести, на величину
(а - г) (l - cos фм) " (а - г) фм/2. (т)
Тогда потенциальная энергия имеет вид
En max = -g- ^ (а г) Фм- (у)
В среднем положении точка контакта А является мгновенным центром вращения
цилиндра, поэтому при условии отсутствия трения мгновенная угловая
скорость относительно этой точки
2*
а - а ~ г (r)м --------~ Фм-
(Ф)
35
Тогда кинетическую энергию, которая равна О,5/л02, можно представить в
виде
1 W Зл2 (а - г)2 -
/:н |
•фм.
(х)
Приравнивая выражения (у) и (х), получим следующее выражение для круговой
частоты:
(U)
ЗАДАЧИ
1.3.1. На рис. А.1.3.1 показан тяжелый маятник, ось вращения которого
составляет малый угол р с вертикалью. Определить частоту малых колебаний,
учитывая только вес W шара и предполагая, что масса шара сосредоточена в
центре тяжести С. Считать, что трение в подшипниках отсутствует.
Ответ-, 𠦦
V4-
1.3.2. Определить собственную частоту колебаний системы, показанной на
рис. 1.12, если W = = 22,7 Н, kx= 0,356-103 Н/м, /г2 = 1,79-103 [Н/м, Ь =
0,102 м, с = 0,051 м. Стрелку ВОА рассматривать как тонкий, постоянного
поперечного сечения стержень весом W = 1,82 Н и считать, что длина
участка ОА стрелки равна 0,306 м.
Ответ: / - 2,72 с-1.
1.3.3. Когда в показанной на рис. 1.13, а системе к верхнему концу
вертикального стержня прикреплен груз весом Wj =9,1 Н, частота колебаний
системы равна 1,5 с-1. При установке груза весом W2 = 18,2 Н частота
равна 0,75 с-1. Какой минимальный вес дол-
установка которого создает в системе условия неустойчивого равновесия?
Весом стержня можно пренебречь.
Ответ: W3 = 27,3 Н.
1.3.4. Определить круговую частоту р колебаний системы, показанной на
рис. 1.13, а, если вертикальный стержень имеет общий вес wl, равномерно
распределенный по его длине.
Рис. А.1.3.1
жен иметь груз W3,
Ответ: 𠦦
V+
3ka2//
3W + wl
4W + 2wl
3W + wl
)]•
1.3.5. Для записи вертикальных колебаний используется прибор, схема
которого показана на рис. 1.3.5: абсолютно жесткая рамка АОВ весом W
может по-
Рис. А.1.3.5
36
ворачиваться относительно оси О, перпендикулярной плоскости чертежа.
Определить круговую частоту малых вертикальных колебаний груза, считая,
что массами рамки и пружин можно пренебречь.
Ответ: р=У 8[k^ + *fX^ .
1.3.6. Призматический стержень АВ весом W подвешен на двух
вертикальных тросах (рис. А.1.3.6) и может совершать малые крутильные
колебания в горизонтальной плоскости относительно оси, проходящей через
середину пролета стержня
перпендикулярно плоскости чертежа. Определить круговую частоту этих коле'
баний.
Ответ : р = у -'^3 .
1.3.7. Полукруговой сегмент цилиндра совершает колебательные
движения, перекатываясь без трения по горизонтальной плоскости (рис. А.
1.3.7). Определить круговую частоту малых колебаний, если г - радиус
цилиндра, с - координата центра тяжести, i2 = IglW - квадрат радиуса
инерции относительно центральной оси.
Ответ: р= .
1.4. МЕТОД РЕЛЕЯ
Во всех рассмотренных выше случаях задача сводилась к простейшему случаю
колебания системы с одной степенью свободы путем введения определенных
упрощающих предположений. Например, в системе, изображенной на рис. 1.1,
пренебрегалось массой пружины по сравнению с массой груза W, а в
показанной на рис. 1.4 системе не учитывалась масса балки. Аналогично в
системе, представленной на рис. 1.8, пренебрегалось моментом инерции
массы вала по сравнению с моментом инерции массы диска. Хотя введение
подобных упрощающих предположений для большинства практических случаев
позволяет получать достаточно точные решения, в технике встречаются
задачи, в которых становится необходимым внимательно рассматривать
точность таких приближенных подходов. Для того чтобы определить влияние
подобных упрощений на частоту
37
колебаний, рассмотрим приближенный метод, предложенный Ре-леем *. При
использовании этого метода необходимо сделать некоторые предположения
относительно конфигурации системы при колебаниях. Тогда частота колебаний
будет определяться из условий сохранения энергии системы.
