Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
жестких тел, рассматриваются точно так же, как и в случае балок. Тогда
дискретный аналог полученного выше выражения (1.19) имеет вид
Р2 = С6 ? //Ф//1] //Ф7 • (1-21)
/=1 / /=1
В этом выражении через ф, обозначен поворот /-го абсолютно жесткого тела
при действии системы статических крутящих моментов.
48
Указанный крутящий момент, действующий на /-е тело, полагается численно
равным alj, где а = 1 рад/ с-2.
Главной особенностью выражений (1.18)-(1.21) является то, что
потенциальная и кинетическая энергии, используемые при их выводе,
записываются для положений равновесия систем. Статические нагрузки обычно
являются несамоуравновешенными и требуют для себя введения
соответствующих дополнительных закреплений. С другой стороны, колебания
систем без подобных закреплений так же могут быть исследованы методом
Релея путем использования фиктивных закреплений в точках, для которых
известно или каким-либо путем установлено, что перемещения в них равны
нулю. Следует также отметить, что все слагаемые, стоящие в числителях
выражений (1.18)-(1.21), будут положительными, когда действие и
соответствующее ему перемещение направлены в одну сторону. В этом случае
будет гарантировано, что вычисленное приближенное значение частоты будет
всегда больше, чем ее точное значение.
Пример 1. С помощью метода Релея определить круговую частоту основной
формы колебаний балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 1.19).
Жесткость балки при изгибе равна ?7, а влиянием закрепленной массы можно
пренебречь. Для простоты считать, что = W2 = W.
Решение. В этом случае будем предполагать, что форма балки при колебаниях
аналогична кривой статических прогибов при действии противоположно
направленных сил (см. рис. 1.19). Соответствующие статические прогибы
определяются следующими выражениями:
Пример 2. На рис. 1.20, а представлена упрощенная модель трехэтажного
здания, междуэтажные перекрытия которого полагаются абсолютно жесткими, а
стойки считаются невесомыми. Используя метод Релея, найти приближенное
значение периода основного тона свободных поперечных колебаний здания.
Для простоты считать, что Wx = W2 = W3 = IT, lx - l2 = l3 = l и жесткость
стоек при изгибе равна EI.
Решение. Предположим, что форма поперечных колебаний здания аналогична
форме, по которой изгибается здание при действии горизонтальных сил, по
величине равных весам Wlt W2 и W3 междуэтажных перекрытий, приложенных в
центре тяжести этих перекрытий. Для того чтобы определить боковое
смещение между-
Wxl3 W2l 5 Wl3 У1 48?7 + 32EI ~ 96?7
Wxl3 W2i 5 Wl3 У2 ~ 32EI + 8EI ~ 32EI '
Подставляя эти выражения в (1.20), получим
№EIg 25Wl3 '
wt
w,
-I
I
I
I
-! X7
-I X,
-/77777---------/77777-
O)
Hj _
/(/////////////Z////
7
гЭ'1''м
/'/////////////////7/ -Hi
6)
Рис. 1.20
этажных перекрытий, рассмотрим сначала перемещение 6; г-го при отсчете от
верхнего перекрытия относительно перекрытия, лежащего этажом ниже, при
действии поперечной силы Я,, как показано на рис. 1.20,6. Так как на
каждую стойку действует поперечная сила Я;/2 и в середине пролета стойки
имеется точка перегиба, то в результате получаем
г (Яj/2) (//2)2 ] Htl* м
L 3EI J 24EI • 1 '
61
Тогда, учитывая равенства Ях = = W, Я2 = + W2 = 2W, Я3 = W1
-f- W2 + = 3№, из выражения (e) находим
. Wl3 " 2Г/3 s 3 Wl3
°i
24Я/'
24Ё/
2AEI
Следовательно, статические перемещения, показанные на рис. 1.20, а:
6 W13
V
24 EI
= в.
5 Г/3 24?/
3W13 24Я/ '
Подставляя найденные значения перемещений в выражение (1.20) и учитывая
равенства lFj = - №3 = №, найдем
24Elg . 5ГР '
5 W13 24EIg
Пример 3. Предположим, что в месте соединения пружин kt и k2 (см. рис.
1.5, а) прикреплен груз W. Определить методом Релея приближенное значение
круговой частоты основного тона колебаний этой системы.
Решение. При одновременном статическом приложении обоих грузов точка
соединения пружин перемещается на расстояние 2W/kt. Тогда нижний конец
смещается на величину 2Wlkx -)- Wlk2. Если в качестве общего знаменателя
для этих
50
перемещений взять /г^, то первое перемещение станет W2k.2lk1k2, второе -
W (2к2 + _|_ /s1)/ft1fe2• Подставляя эти значения в выражение (1.20),
найдем
к,8 \2k" -f- (2*2 + "!>]
Р~ ~ W [(2&г)2 -f- (2k2 + kiY\
или _________________________
"j f k-Jt2g (?t -)- 4^2)
X W (k\ -f- -f- 8^;)'
Пример. 4. Предположим, что в представленном на рис. 1.8 (п. 1.2) вале с
дисками второй диск с моментом инерции 2/ присоединен в середине вала.
Используя метод Релея, определить круговую частоту основного тона
крутильных колебаний.
Решение. Для того чтобы определить перемещение при кручении, приложим
крутящие моменты, численно равные 2/а в середине длины вала и /а на конце
его. Указанные крутящие моменты вызывают угловые перемещения, равные
2Ial2kK в середине длины вала и 3/а/2/гк -f- Ial2kK = 2IaikK
на конце его (kK - жесткость
всего вала при кручении). Подставляя эти значения в выражение
(1.21), получим
а 12/ |3/а/(2/гк)Ц- / (2/аД,,))
