Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
можно принять
limx^-cos pt. (1.316)
e--0 гР
Кривые, представленные на рис. 1.26, показывают, что в системе при
резонансе амплитуда вынужденных колебаний при отсутствии затухания
теоретически стремится к бесконечности, для достижения которой требуется
бесконечно большое время. Таким образом, при проектировании машины, в
которой имеется возможность управлять упомянутым выше резонансом, не
представляет большой трудности испытать ее прохождением через резонанс
при условии, что этот переход осуществляется исключительно быстро.
Однако, как было обнаружено экспериментально, если колеблющаяся система
такова, что установившееся состояние лежит ниже зоны резонанса, то очень
сложно повысить частоту вращения с тем, чтобы заставить установку пройти
через зону резонанса. Дополнительная мощность, затрачиваемая для этой
цели, расходуется на увеличение амплитуд колебания, а эксплуатационная
частота вращения подвижных частей установки изменяется мало.
Когда частота функции возмущающей силы близка к частоте колебаний системы
(но
* Выражение (1.31а) может быть получено применением к выражению (1.296)
правила Лопиталя.
63
точно не равна), может наблюдаться явление, называемое биением. Это
явление описывается выражением (е), причем достаточно хорошее приближение
для динамического поведения системы получается из упрощенной формулы,
включающей в себя только первое слагаемое:
q sin st
2 ре
•COS pt.
(1.32)
Поскольку величина е в представлении (1.32) мала, функция sin е/
изменяется медленно, а ее период, равный 2я/е, является большим.
Следовательно, можно считать, что представление (1.32) описывает
колебания с периодом 2я!р и переменной амплитудой, равной (q/2рг) sin е/.
Такого рода колебания нарастают и затухают в виде периодических биений,
показанных на рис. 1.27. Период биения, равный я/е, увеличивается, когда
частота колебаний приближается к частоте р (т. е. при е -> 0). При
резонансе период биения становится бесконечным, а рост амплитуды -
непрерывным, как видно из рис. 1.26.
Пример. Верхний конец пружины (см. рис. 1.23) имеет постоянную,
направленную вниз скорость и0, которая в некоторый момент t = 0
становится скоростью простого гармонического движения вида
н0 ¦ i Хоп = --sm т. 00
(И)
Определить полное выражение, описывающее характер последующего движения
подвешенного на пружине груза W.
Решение. В этом случае начальные условия движения имеют вид
*о=0; x0=-vB. (к)
*0 ~ ^о*
Подставляя эти значения в выражение (а), получим
=___ЯЧ>/_Р_
Р
Ci = 0; С2 = -
(л)
р* - ?0
Вновь подставляя найденные значения постоянных в выражение (1.23) и
учитывая что в этом случае имеет место
kgd
Qон :
Г
РН'о
64
найдем искомое решение для реакции
Vo/ш / . (О3 . Д
я = i 5Т~51 sm tot г sin pt ).
1 - ш2/р2 \
(M)
ЗАДАЧИ
Для системы, показанной на рис. 1.23, даны вес груза W = 45,4 Н и
жесткость пружины k= 1,79-103 Н/м. Предполагается, что возмущающая сила
описывается функцией Р sin ш/, где Р = 9,1 Н и ш = 10я с-1, и начальные
условия суть х0 = х0 = 0 при t = 0. Определить скорость и перемещение
груза W в момент времени t = 1 с.
Ответ: хх= 3,73-10~3 м, хх = 3,1-10'? м/с.
1.7.2. Какими будут перемещение и скорость груза W из предыдущей задачи в
момент времени t = 1 с, если возбуждающая сила описывается не функцией Р
sin <а/, а функцией Р cos со/? Предполагается, что все остальные исходные
данные такие же, как^и в задаче 1.7.1.
Ответ: xx= -8,9-10~4 м, хх = 4,6-10'? м/с.
1.7.3. Получить выражение, аналогичное (1.31а), при условии, что
возбуждающая сила описывается не функцией Р sin со/, а функцией Р cos
со/.
Ответ: х = sin pt.
2 р
1.7.4. Для задачи 1.7.3 построить в безразмерных координатах график
зависимости перемещений системы от времени, аналогичный приведенному на
рис. 1.26.
1.8. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ВЯЗКИМ ДЕМПФИРОВАНИЕМ
В предыдущих обсуждениях свободных и вынужденных колебаний не
рассматривалось влияние диссипативных сил, таких, как силы трения или
сопротивления воздуха. В результате было получено, что амплитуда
свободных колебаний остается неизменной с течением времени, но, как
показывают эксперименты, амплитуда с течением времени уменьшается, и
колебания постепенно затухают. В случае вынужденных колебаний из теории
следует, что при резонансе амплитуда может возрастать беспредельно.
Однако, как известно, вследствие демпфирования амплитуда при
установившемся поведении системы всегда имеет некоторую конечную величину
даже при резонансе.
Для того чтобы провести аналитическое обсуждение колебаний при лучшем
соответствии действительным условиям, необходимо учесть влияние
демпфирующих сил. Эти силы могут иметь различное происхождение: трение
между сухими поверхностями скольжения, трение между смазанными
поверхностями, сопротивление воздуха или жидкости, электрическое
демпфирование, внутреннее трение, обусловленное несовершенной упругостью
материалов, и т. д. Среди всех упомянутых причин рассеивания энергии
