Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Амплитуда эквивалентной, статически приложенной силы в относительных
координатах
Га 2-105 - 5,08 ~Г~---------9^81-----------1'03'10 Н'
а коэффициент усиления в этом случае
R = ______! = _!_____ = 5 19
н 1-(о 2/р2 1 - (1600/2290) '
В итоге, амплитуду вынужденных колебаний в относительных координатах
получаем из выражения (р), что дает
1,03-105-3,32
Хтах =------3757-Го^------- " °'°098 "•
Изменение напряжения в раскосных тросах, обусловленное найденной
величиной перемещения:
_ /5.3,5. 10'.0.0"98?2__3i43 10,п>
4 А 4-5-10-
Пример 4. Вертикальная периодическая сила Р sin сot приложена
непосредственно к пружине (см. рис. 1.1, а) в точке, отстоящей на
расстоянии с от опоры. Какой будет установившаяся реакция груза Г?
Решение. Предположим, что пружина состоит из двух частей, как показано на
рис. 1.5, а. Участок длиной с имеет жесткость пружины, равную klt
жесткость пружины другого участка составляет k2. Из примера 2 (см. п.
1.1) имеем соотношение
58
В произвольный момент времени величина силы, передаваемой массе со
стороны невесомой пружины:
г-" • Мз Psinw^ , ,
F (t) = -г' Г7Г Р slli ы/ = Т' . г-----------I ' т)
ki + k2 /?! + k2 kt
Второй сомножитель в выражении (т) представляет собой перемещение массы
при статическом приложении силы, обусловливающей вынужденные колебания.
Вводя обозначение
Дет = Plkl, (У)
выражение (т) можно представить в виде
F (/) = ?ДСТ sin ti)t. (ф)
Эту функцию эквивалентной вынуждающей силы можно использовать
вместо
Р sin Ш в выражении (1.24); тогда перемещение при установившейся
реакции будет
иметь вид
х = Лст sin Ы ^ __ ^ . (х)
Из полученного выражения следует, что необходимо рассматривать только
статическое перемещение массы при действии эквивалентной возмущающей
силы, независимо от того, в каком месте прикладывается возмущающая сила.
ЗАДАЧИ
1.6.1. Найти амплитуду вынужденных колебаний подвешенного к пружине груза
весом W (см. рис. 1.23), если верхний конец пружины перемещается по
гармоническому закону с амплитудой а = 0,0254 м и круговой частотой (о =
180 с-1. Предполагается, что при статическом приложении указанный груз
вызывает смещение бст = 0,0762 м.
Ответ: 1,016-10-4 м.
1.6.2. Показанный на рис. 1.21 и подвешенный на пружине груз вызывает
статическое перемещение 6СТ = 0,0254 м. Чему равна амплитуда вынужденных
колебаний, обусловленных действием силы Р cos <i>t, если дано: Р = 9,08
Н; о = = Юле'1; W = 45,4 Н?
Ответ: 3,25-10-3 м.
1.6.3. Балка, изготовленная из стандартного двутавра, длиной /= 3,66 м и
с моментом инерции /= 2,4-Ю"6 м4 свободно оперта по концам (рис.
А.1.6.3). В середине пролета балки установлен электродвигатель весом W =
4,54-103 Н, ротор которого вращается с частотой 1800 мин-1. Из-за
неуравновешенности ротора возникает центробежная сила Р = 2,27¦ 103 Н.
Чему равна амплитуда установившихся вынужденных колебаний, если не
учитывать массу балки?
Ответ: 2,032-10"4 м.
1.6.4. Стальная балка, имеющая момент инерции поперечного сечения I = =
1,66-10"6 м4, оперта, как показано на рис. А.1.6.4, и несет на
незакрепленном конце груз весом W = 2,7-103 Н. Подсчитать амплитуду
установившихся выну-
59
жденных колебаний груза W, если опора А совершает малые вертикальные
колебания вида уд = d sin cat, где d = 3,05-10-3 м, со = 30 с-1. Опора В
неподвижна, а влиянием массы балки можно пренебречь.
Ответ: 3,33- 1СГ3 м.
А В W
•пйа /77777 1,83м 0,315 М - ' 3"'< ¦¦ I
Рис. А.1.6.4
1.6.5. Груз весом W = 5,45-104 Н установлен в середине пролета
свободно опертой балки (рис. А.1.6.5), изготовленной из двух стальных
швеллеров (/= = 2-7,24-10-6 = 1,45- 1СГБ м4). Пренебрегая весом балки,
определить амплитуду установившихся вынужденных колебаний груза W, если к
концу балки приложен, как показано на рисунке, периодически изменяющийся
изгибающий "момент М = = Мг cos cat и дано, что со = 0,90р, = 1,16-
103 Н-м.
Ответ: 1,153- 1СГ3 м.
hit)
-------------
и/
1,52 п
1,52м
Рис. А. 1.6.5
1.6.6. Электродвигатель весом W = 7,26-104 Н установлен в середине
пролета балки (см. рис. 1.6.3), изготовленной из двух двутавров, с
моментом инерции 1 = 2,7-10-5 м4 и длиной 3,66 м. Если частота вращения
ротора электродвигателя равна 600 мин-1, Е = 2,1-1011 Н/м2 и ротор имеет
неуравновешенный вес величиной 18,2 Н на радиусе 0,254 м, то чему будет
равна амплитуда установившихся вынужденных колебаний? Массой обеих балок
можно пренебречь.
Ответ: 1,03-10-4 м.
1.6.7. Для случая, представленного в задаче 1.6.6, предположить, что ось
ротора располагается на расстоянии 0,51 м от поверхности крепления
электродвигателя, который установлен на верхней полке балки. Какова будет
амплитуда установившихся вынужденных угловых колебаний, обусловленных
действием горизонтальной составляющей силы Р cos cat, если момент инерции
электродвигателя относительно оси его ротора равен 1,16-103 Н-м-с-2?
Ответ: 5.14-10-5 рад.
1.6.8. Предположить, что электродвигатель в задаче 1.6.6 остановлен, но
опоры А и В балки перемещаются вертикально с ускорением, изменяющимся по
