Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
демпфирование не рассматривается, оно может быть легко учтено с помощью
коэффициентов демпфирования по соответствующим формам колебаний, как это
делалось в п. 4.8.
5.2. СВОБОДНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
Среди различных типов собственных колебаний, возникающих в упругом
стержне, продольные колебания являются наиболее простыми для
исследования. В стержне могут возникнуть крутильные и поперечные
колебания, которые рассматриваются в соответствующих параграфах. При
исследовании продольных колебаний предполагаем, что поперечные сечения
стержня остаются плоскими и что каждая точка поперечного сечения
совершает только осевые перемещения. Продольные растяжения и сжатия,
имеющие место при таких колебаниях стержня, сопровождаются возникновением
той или иной величины поперечных деформаций. Однако в последующем
обсуждении рассмотрим только те случаи, для которых длина продольных волн
колебаний велика по сравнению с размерами поперечных сечений стержня. В
этих случаях *, не совершая существенной ошибки, можно пренебречь
влиянием поперечных перемещений на характер продольных движений 7.
На рис. 5.1, а показан свободный от нагрузок призматический стержень
длиной /, бесконечно малый элемент которого длиной dx расположен на
расстоянии х от левого конца. Обозначим через и продольное перемещение
точки поперечного сечения с координатой х. Когда в стержне происходят
продольные колебания, сумма продольных сил, действующих на бесконечно
малый элемент стержня (рис. 5.1, б), в соответствии с принципом Деламбера
S + |Ld*_S-pFd*-^ = 0; (а)
здесь S - направленная вдоль оси равнодействующая внутренних напряжений,
возникающих в поперечном сечении с координатой х.
* Полное решение задачи о продольных колебаниях цилиндрического стержня
кругового поперечного сечения с учетом влияния поперечных перемещений
было получено Л. Похгаммером и описано в кн. Pochhammer L. Ober die
Fortpflanzungs-geschwindingkeiten kleiner Schwingungen in einem
unbegrenzteri isotropen Kreiszy-linder. - J. ffir die reine und
angewandte Mathematik (J. von A. Crelle), 1876, B. 81, N. 4, S. 324-336;
см. также Giebe E., Blechschmidt E. Experimentelle und theoretische
untersuchungen fiber dehnungseigenschwingungen von Staben und Roh-ren. -
Annalen der Physik, 1933, F. 5, B. 18, N. 5, S. 457-485.
11* 323.
Внутренняя сила, фигурирующая в этом уравнении, равна произведению
плотности р материала на объем малого сегмента Fdx (где F - площадь
поперечного сечения стержня) и ускорение д2и/дЕ. Используя закон Гука,
продольную силу S можно выразить через продольное напряжение и, далее,
через осевую деформацию е = = ди/дх, что дает
S = Fa = EFr = EFduldx, (б)
где Е - модуль Юнга Подставляя выражение (б) в уравнение (а), после
преобразований получим
д2и _ 1 д2и
дх2 - a2 dt ' где ___
а - У Е/р. (5.2)
Уравнение (5.1) часто называют одномерным волновым, чтобы указать на то
обстоятельство, что при продольных колебаниях контур перемещений
распространяется в осевом направлении со скоростью а, т. е. со скоростью
распространения звука в материале. Волновое решение этой задачи имеет вид
и = f (х - at) (в)
и представляет некоторую произвольную функцию от х, перемещающуюся со
скоростью а. Можно показать, что это представление удовлетворяет
уравнению (5.1), для чего найдем соответствующие производные этой функции
ди/дх = Р (х - at); д2и/дх2 = /" (х - at); du/dt = -af (х - at); d2u/dt2
= a2/' (x - at).
324
Подстановкой этих выражений в уравнение (5.1) получаем тождество,
следовательно, это уравнение удовлетворяется. Более общая форма волнового
решения имеет вид
" = fi (х - at) + /2 (х - at). (г)
где первое слагаемое представляет собой функцию (х), перемещающуюся в
положительном направлении оси х, а второе слагаемое состоит из функции /2
(х), перемещающейся в отрицательном направлении оси х. Хотя указанное
волновое решение удобно использовать при исследовании некоторых задач об
ударе, когда имеются импульсы очень малой длительности, эта форма решения
не столь полезна, как решение для задачи о колебаниях, которое здесь и
будет рассматриваться подробно.
Когда стержень, показанный на рис. 5.1, а, колеблется по одной из
собственных форм, решение уравнения (5.1) можно взять в форме
и = X (A cos pt + В sin pt), (д)
где А и В - произвольные постоянные; р - круговая частота. Через X
обозначена функция от х, описывающая форму собственных колебаний; она
называется главной или нормальной функцией. Подставляя выражение (д) в
уравнение (5.1), получаем уравнение
dx2
+ ±-Х = 0, (е)
решение которого будет
X = Ceos - -f- D sin . (ж)
a a 4 '
В этом выражении для функции X произвольные постоянные С и D определяются
из условия удовлетворения концевым условиям на концах стержня. Поскольку
показанный на рис. 5.1,а стержень имеет незакрепленные концы, продольная
сила, которая пропорциональна dXldx, должна быть равна нулю на каждом
конце. Таким образом, концевые условия для рассматриваемой задачи можно
