Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
степенями свободы. Как и в предыдущих параграфах, предполагаем, что имеет
место пропорциональное демпфирование или демпфирование по формам
колебаний. Поскольку здесь потребуется большой объем вычислений,
предполагается, что методы, описываемые в данном параграфе, будут
применяться с использованием ЭВМ.
Рассмотрим вначале интерполяцию кусочно-постоянного типа, описанную в п.
1.15 (см. рис. 1.56). Не теряя общности, здесь будем использовать только
кусочно-постоянного вида функцию возмущающей силы /п (Atj), кусочно-
постоянная форма вектора сил имеет вид
где Atj - шаг по времени конечной длительности, пг - число шагов. В такой
форме величины компонент вектора Р служат скалярными множителями для
произвольного вида функции /п (Д(,). Если одновременно прикладывается
несколько возмущающих сил, представляемых подобными функциями,
определяются динамические перемещения, соответствующие каждой из сил, а
результирующее динамическое перемещение можно определить, просуммировав
перемещения для каждой силы.
Преобразованием уравнений движения в усилиях к нормальным координатам
получаем следующее уравнение, записанное относительно i-й формы
колебаний:
где qTi,j - величина, постоянная на длине /-го шага по времени.
Используя выражение (1.766), найдем динамические перемещения по i-й форме
колебаний системы с демпфированием в момент времени tj
+ ^г- [ 1 - е~п* AtJ (cos pai Atj + sin pRi Atj) ] . (4.155a)
где i = 1, 2, 3.
ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМ
Qnj = F" (Atj) = РД, (Atj), j = 1, 2, 3,...,%,
(a)
¦*t; P\xvi 4rt /' *" - l,2,3,...,n, / -
1,2,3,...,//,
(4.154)
xTi, j - e n' Atj xTi, j-1 COS pai Atj -f-
sin pai Atj +
315
Продифференцировав это выражение по времени и разделив резуль-
тат на рЛ1, получим
Выражения (4.155а) и (4.1556) представляют рекуррентные формулы для
вычисления динамических перемещений при колебаниях системы с
демпфированием по каждой нормальной форме колебаний в конце каждого /-го
шага по времени. Они также служат начальными условиями для перемещения и
скорости в начале (/' + 1)-го шага. Применяя эти формулы последовательным
образом, можно проследить историю изменения во времени динамических
перемещений, соответствующих каждой нормальной форме колебаний. Затем по
известным соотношениям полученные на каждом шаге перемещения преобразуем
к исходным координатам.
Если i-я форма перемещений системы представляет движение как абсолютно
жесткого тела, вместо указанных выше рекуррентных формул следует
использовать соответствующие выражения, описывающие движения как жесткого
тела. Например, если в системе не имеется абсолютного демпфирования, то
вместо выражения (4.155а) для перемещения берем следующее выражение:
Однако следует иметь в виду, что, рассматривая абсолютное демпфирование,
необходимо использовать выражения (4.144) и (4.147), полученные в
предыдущем параграфе.
Когда вместо уравнений движения в усилиях используются уравнения движения
в перемещениях, вектор динамических перемещений, описываемых кусочно-
постоянными функциями, принимает вид
где Аст - вектор статических перемещений, обусловленных действием
нагрузок Р. Следуя той же схеме рассуждений, что и в предыдущих
параграфах, видим, что множитель qr при слагаемых в выражениях (4.155а) и
(4.1556) здесь заменен на 8ri,j, что получается в результате
преобразования вектора А11;- к нормальным координатам.
Для того чтобы можно было использовать рекуррентные формулы (4.155а) и
(4.1556), была составлена программа на языке БЕЙСИК
х
гг, j Рдг
+ г~е "г Л</ [ 1 + -j^rj sin pRi At}. (4.1556)
(4.156a)
Выражение (4.1556) для скорости принимает вид *гг, j = *п, г-i + Qn, j
Atj.
(4.1566)
Лю = FQru = FP/п (Atj) = АС1/Ц (Atj), j = 1, 2, 3,. . ., n, (б)
316
для вычислительной машины, f
текст которой приведен в при- ^
ложении. Эта программа, носящая название DYNACON3, по-зволяет определять
динамические перемещения, соответствующие трем первым формам 0
колебаний, когда на систему ш'
с демпфированием со многими степенями свободы действует '
возмущающая сила в виде кусочно-постоянной функции. ;о,°
В верхней части рис. 4.5 представлен график изменения такой 75
функции /д, при этом ее числовые значения, заданные с интервалом 0,5 с по
времени, 5'°
приведены в четвертом столбце табл. 4.3. Эта функция, умно- 2,5
женная на вектор нагрузки Р = {0,2; 0,3; 0,6}, использовалась в качестве
возмущающей о
силы для системы, изображенной на рис. 4.3; в последних трех столбцах
таблицы представлены полученные с помощью программы DYNAUJINO данные,
описывающие неустановившееся поведение системы. Использованы следующие
данные: тх = /п2 = т3 - 0,179 -103 Н-с2/м, kx = &2 = &3 = = 0,179-103
Н/м, ух = у2 = Уз = 0,05. Начальные условия имели вид: x0i = х02 - х0з =
0, Xqj =Xq2 = х03 = 0.
На нижней части рис. 4.5 представлены графики изменения во времени
перемещений хъ х2 и х3. Видно, что основной вклад в суммарное
динамическое перемещение дает первая форма колебаний, период которых
