Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2. На рис. 4.4 представлен график изменения во времени возмущающей
силы в виде периодической функции с прямоугольной формой волны.
Исследовать установившееся движение системы с демпфированием (см. рис.
4.3) по каждой из нормальных форм колебаний, если возмущающая сила
указанного вида приложена к первой массе.
Решение. Раскладывая функцию в ряд Фурье (см. задачу 1.11.2), получим
4Р
F (t) = Pf (t) = (^sin ш/ + sin ЗШ + ¦ ¦ • ^ . Раскладывая вектор
нагрузки по нормальным координатам, найдем
F(t).
~F (t)~ 'Хни
Qr = xTHQ= хтн 0 = Хн12
0 -X H13 _
(к)
(л)
Из выражения (4.139) определяем динамические перемещения системы по
нормальным формам колебаний
4Р
я
X
Хг = -ц- X
" хни [Ри sin (ы{ - 0ц) + VbPi3 sin (ЗШ - 01з) + • • -]/р21 •^Н12 [P21
s'n (r)2l) + 1/зРгЗ s'n (3a)t - (r)2з) + ¦ ¦
X
Н13 [Р31 sin (r)3i) + V3P33 sin (Зш/ - 633) + • •
-]/Рз _
(м)
Относящиеся к данному случаю коэффициенты усиления и фазовые углы можно
найти из выражений (4.140) и (4.141).
4.10. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ С ДЕМПФИРОВАНИЕМ
При исследованиях неустановившегося поведения системы влияние
демпфирования следует учитывать в тех случаях, когда длительность
промежутка времени, представляющая интерес для исследователя, достаточно
велика по сравнению с периодом собственных колебаний системы. Если этот
промежуток мал, но коэффициенты
310
демпфирования по соответствующим формам колебаний сравнительно велики (у*
> 0,05), наличие демпфирования может еще оказывать заметное влияние.
Поэтому в данном параграфе для того чтобы учесть влияние демпфирования
при неустановившихся колебаниях системы, соотношения, полученные в п.
4.4-4.6, будут преобразованы применительно к нормальным координатам.'Так
же, как и в предыдущем параграфе, здесь будет предполагаться,!что имеет
место либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по
соответствующим формам колебаний.
В п. 4.4 была сформулирована задача о динамических перемещениях,
выраженных через нормальные формы колебаний системы со многими степенями
свободы, когда начальные условия задаются в виде перемещения и скорости.
При наличии демпфирования динамические перемещения, соответствующие t'-й
форме свободных колебаний системы, в соответствии с выражением (4.55)
должны описываться следующим выражением:
полученным из выражения (1.35). Круговая частота при демпфированных
колебаниях определяется выражением (4.142):
где pi - круговая частота недемпфированных колебаний. Преоб-
координатам проводим в соответствии с выражениями (4.56) и (4.57), а для
преобразования перемещений к исходным координатам используем выражение
(4.58).
Ни демпфирование по формам колебаний, ни относительное демпфирование,
пропорциональное матрице жесткости, не будет оказывать влияния на
движения системы как абсолютно жесткого тела. Влияние на подобные
движения системы будет оказывать абсолютное демпфирование,
пропорциональное матрице масс, поэтому для такого типа демпфирования
уравнение (4.59) берем в виде
Это решение можно использовать вместо выражения (4.60) при исследованиях
движений системы как абсолютно жесткого тела при абсолютном
демпфировании. Заметим, что если величина а = 0 (т. е. демпфирование
отсутствует), выражение в скобках принимает вид
Pm = V р\ - п\ = pi V 1 - it,
(а)
разование векторов начальных условий Х0 и Х0 к нормальным
хп + axri = 0. Решением уравнения (4.143) будет
(4.143)
(4.144)
(б)
и тогда решение приобретает форму (4.60).
311
Точно такого же небольшого изменения процедуры, изложенной в п. 4.5,
требуется и при определении динамических перемещений по нормальным формам
при действии приложенных нагрузок, когда в системе имеется
пропорциональное демпфирование или демпфирование по формам колебаний.
Преобразование приложенных нагрузок к нормальным координатам проводится в
соответствии с выражением (4.64), но интеграл Дюамеля в выражении (4.67)
следует взять в виде
соответствующем выражению (1.62). Если предполагается, что имеет место
абсолютное демпфирование, уравнение движения (4.68) как абсолютно
жесткого тела следует взять в форме
Для системы, находящейся в покое в начальный момент времени, в~
качестве^решения уравнения (4.146) вместо выражения (4.69) следует взять
Если используются уравнения движения в перемещениях вместо уравнений в
усилиях, то для преобразования вектора перемещений А к нормальным
координатам следует использовать выражение (4.73). Кроме того,
соответствующая г-й нормальной форме колебаний эквивалентная нагрузка
[см. выражение (4.77) ]
Подобная форма интеграла особенно удобна при исследованиях поведения
демпфированных систем, у которых изменяющиеся во времени перемещения А
можно легко найти из статического анализа, подобного тому, который был
описан в п. 4.5.
Обусловленные движениями опор динамические перемещения по нормальным
формам колебаний, рассмотренные в^п. 4.6,пгакже можно представить в
преобразованном виде, позволяющем учесть~как пропорциональное
