Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
0 1 0 1 0 = т
- 1 0 1 ] 1 О О 1 0 1_ J 2.
- 1 1 0 "1-1 0' 1 -1" 5 Г
k -1 2 -1 1 0 = k
- 1 0 1 .0-1 1 0 1 .1 2
Обращая последнюю матрицу, получим матрицу податливостей
б
оп!
S-1 -i-Г 2 "Ч оп1 9 L -1 5Г
(к')
(л')
(м')
Далее, в соответствии с выражением (4.114) найдем произведение
тб Г1 01
~ 11 з|-
Ann! - FonlMonl - ¦
К)
Легко проверить либо прямым решением, либо методом последовательных
приближений, что собственные значения этой матрицы суть Я2 = тб и Х3 =
тб/3, а собственные векторы (X0ni)M2 = (0. -1}> (Xobi)^3 = {-2, 1).
Преобразуя эти векторы к исходным координатам с помощью выражения
(4.110), найдем
0 ' Г -2' ' Г
1 = 0 ) Хдо3 - Toni 1 = -2
-1 1
(o')
что совпадает с решением, полученным в последней части примера 1 в п.
4.2.
ЗАДАЧИ
4.7.1. Используя метод последовательных приближений, определить
собственные значения и собственные векторы для системы, изображенной на
рис. 4.2, а. Принять тг= т3 = т, т2 = 2т, 1г = 12 = 13 = /4 = /.
Ответ: 2i 3 да 1,707ml/T\ 0,500ml/T', 0,293m//7\
4.7.2. Решить задачу 4.2.2 методом последовательных приближений, приняв
mi = т3 = 2т, т2 = т.
Ответ: Ях> 2, 3 да 2,618тб; 1,000тб; 0,382/пб.
4.7.3. Решить задачу 4.2.6 методом последовательных приближений, приняв
mi ~ т2 = т, т3 = 2т.
Ответ: h, 2, з " 39,68а; 2,815а; 0,501а [а = т13/(ШЕ1)].
4.7.4. Решить задачу 4.2.7 методом последовательных приближений, приняв
тх = т2 = Зт, т3 = т.
Ответ: р\, ,, 3 да 0,246g/i, 1,252g/i, 2,169g/l,
301
4.7.5. Решить задачу 4.2.8 методом последовательных приближений, приняв
т1= щ = 2т, т3 = т.
Ответ: %lt 2> з ~ 19,12а; 4,000а; 1,884а [а = m/i3/( 144?7) ].
4.7.6. Решить задачу 4.2.10 методом последовательных приближений, приняв
яц - т и т2 = Зт.
Ответ: 2, з ~ 76,32а; 8,978а; 0,700а [а =
ml3/(48EI)].
АЛЛ. Решить задачу 4.2.11, используя метод исключения форм движения как
абсолютно жесткого тела, описанный в конце этого параграфа. Принять тх =
т3 = = т, пц= 2т.
Ответ: pf, 2, з== 0; 0; 6?//(т/3).
4.8. ДЕМПФИРОВАНИЕ В СИСТЕМАХ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Метод нормальных форм колебаний, рассмотренный в пп. 4.3-
4.6, применялся там только при исследованиях систем со многими степенями
свободы без демпфирования. Часто влияние демпфирования на динамическое
поведение колеблющихся систем незначительно и им можно пренебречь.
Например, влияние небольшого демпфирования на динамическое поведение
системы при действии возмущающей силы на небольшом промежутке времени,
очевидно, не будет значительным. Кроме того, демпфирование играет
незначительную роль при установившемся динамическом поведении системы и
при действии на нее возмущающей силы в виде периодической функции, когда
частота возмущающей функции не близка к частоте резонанса. Однако при
периодическом возмущении с частотой собственных колебаний или близкой к
ней демпфирование приобретает первостепенное значение и должно
учитываться. Поскольку характер его влияния обычно заранее неизвестен,
демпфирование обычно включается в рассмотрение при динамических
исследованиях до тех пор, пока не будет выявлено его истинное значение.
В гл. 3 рассматривались свободные и вынужденные колебания систем с двумя
степенями свободы при вязком демпфировании, теперь займемся исследованием
поведения систем с демпфированием, имеющих п степеней свободы. Когда в
состоящей из трех масс системе силы сопротивления создаются
гидравлическими амортизаторами (рис. 4.3), уравнения движения в усилиях
можно записать в следующем виде:
MX + CX + SX=Q, (4.120)
¦vwwww
U
лллллллл/w --Г
п \ h •
М
п ¦ ¦
JJ . U-
*2
Рис. 4.3
302
где матрица демпфирования имеет обобщенную форму
Сц C12 C13 . ¦ Cln~
^21 6^22 ^23 • ¦ C2n
c = ^31 Cl2 С3З ¦ ¦ C3 n
_CniCn2Cn3 • ¦ Cnn_
Коэффициенты влияния этой симметричной матрицы были определены выше, в п.
3.7.
Сначала рассмотрим специальные системы, в которых матрицы демпфирования
являются линейными комбинациями матриц масс и жесткостей
C = aM + 6S, (4.121)
где а и b - постоянные. Подобного типа демпфирование называется
пропорциональным в силу линейности зависимости между мат-трицами С, М и
S. В этом случае уравнения движения (4.120) могут быть приведены к
несвязанной форме с помощью преобразования, аналогичного применявшемуся
для систем без демпфирования *. Тогда эти уравнения, переписанные в
главных координатах, примут вид
MrXr + CrXr + SrXr = Qr, (4.122)
где
Cf = ХмСХм = О- Mr -f- b Sr- (б)
Здесь диагональная матрица Сг, которую будем называть главной матрицей
демпфирования, представляет собой линейную комбинацию матриц Мг и Sr.
Когда матрица форм колебаний нормируется по отношению к матрице М,
матрицу демпфирования в нормальных координатах запишем как
Сг = ХнСХн = а I + 6 р2. (4.123)
Диагональная матрица р2 в этом выражении имеет в качестве элементов
характеристические значения р\ для той же системы без демпфирования [см.
выражение (4.36)]. Поэтому г'-е уравнение движения в нормальных
координатах будет иметь вид
