Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтомутперепишем уравнение (4.124) в форме, в которой используется
коэффициент уг:
*Г; + 2у;рДГ; +р!лгГ? = дГ;, 1=1, 2,3, (4.127)
Для того чтобы это уравнение можно было применять к системе со слабым
демпфированием, будем считать, что для всех форм колебаний коэффициенты,
демпфирования принимают значения 0 < уг < 0,20. Характер демпфирования,
которомуУсоответствуют принятые значения 4 коэффициента демпфирования,
имеет большое : практическое значение и называется демпфированием по
формам колебаний.
* Foss К. A. Coordinates which uncouple the equations of motion of damped
linear dynamic systems. - Journ. Appl. Mech. Trans. ASME, 1958, v. 25, N.
3, pp. 361-364.
305
Следует напомнить, что этот подход основан на применении нормальных
координат для системы без демпфирования и что значения коэффициентов
демпфирования задаются применительно к этим координатам.
Когда исследования проводят, рассматривая демпфирование по
соответствующим формам колебаний, иногда требуется найти мат-трицу
демпфирования в исходных координатах. Ее можно получить с помощью
обратного преобразования вида
С=(Хн1)тСгХн1. (ж)
Однако вместо того, чтобы пытаться обращать матрицу Хн, воспользуемся
соотношением Хн1 = ХнМ [см. выражение (4.446)1, и
тогда выражение (ж) можно представить в следующей форме:
С = МХнСгХнМ. (4.128)
Преобразование такого вида особенно удобно тогда, когда во внимание
принимаются не все собственные формы колебаний, например при уменьшении
форм колебаний.
4.9. ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ С ДЕМПФИРОВАНИЕМ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
Как уже говорилось в предыдущем параграфе, демпфирование становится
исключительно важным в том случае, когда периодические возмущения имеют
частоту, близкую к одной из частот собственных колебаний системы со
многими степенями свободы. Вопрос об установившихся вынужденных
колебаниях систем с двумя степенями свободы исследовался в п. 3.8 с
помощью метода передаточных функций. Этот подход может быть легко
распространен на системы с п степенями свободы, при этом основные
соотношения [см. выражения (3.51) и (3.52)] сохраняют свою форму
неизменной. Однако решение в рамках указанного подхода требует обращения
матрицы порядка п х п, содержащей комплексные числа. Если собственные
значения и собственные векторы системы предварительно были определены тем
или иным способом, подходу с использованием передаточных функций лучше
предпочесть метод нормальных форм колебаний. Зная частоту изменения
возмущений и собственную частоту колебаний системы, можно
непосредственным путем определить динамические перемещения по формам
колебаний, чьи частоты близки к частоте возмущения. Ннже~будут
рассмотрены возмущения, имеющие вид либо одной гармонической функции,
либо произвольного вида периодических функций, при этом будет
предполагаться, что система имеет либо пропорциональное демпфирование,
либо демпфирование по формам колебаний, аналогичное тому, о котором
говорилось в предыдущем параграфе.
Если на систему|со слабым демпфированием действуют силы, каждая из
которых пропорциональна одной гармонической функции cos сot, вектор
усилий Q можно представить в виде
Q = Pcoscd^, (а)
306
где
P = Р" Ps. .... />"}¦ (б)
В выражении (а) величины Р представляют собой скалярные множители перед
функциями cos at. Преобразование уравнения движения в условиях к
нормальным координатам позволяет записать типичное уравнение движения для
соответствующей формы колебаний
Xu + 2nixri + p2iXn = qnCOSat, i= 1, 2, 3, . n, (4.129)
где qri - постоянная величина. Это уравнение совпадает по виду с
уравнением (1.42). Поэтому представление для г-й формы колебаний системы
с демпфированием при установившемся поведении можно взять в следующем
виде:
хп = (Ягс/рЬ Рг cos (at - 0г), (4.130)
где коэффициент усиления
Рг = 1//(1 - о"//;;)' + (2у;Со//7г)2, (4.131)
а фазовый угол
9г = arctg (4.132)
1 - m2jp)
Выражения (4.130)-(4.132) получены, соответственно, из выражений (1.46)-
(1.48). Выражение (4.130) для динамических перемещении; можно^затем
преобразовать с помощью известной процедуры вновь к исходным координатам.
Для того чтобы определить перемещения по форме, имеющей круговую частоту
pt, наиболее близкую к круговой частоте изменения возмущений, следует
использовать только столбец Хн; в матрице форм при преобразованиях к
нормальным координатам и наоборот. Вследствие сказанного выражение (4.64)
принимает вид
<7гг=ХтшР, (4.133)
а выражение (4.58) в п. 4.4 запишем в форме
Х = Хнг*гг. (4.134)
При необходимости этот процесс можно повторить и для других форм
колебаний, чьи частоты близки к частоте со.
Когда вместо уравнений движения в усилиях используются уравнения в
перемещениях, вектор гармонических перемещений принимает вид
А = FQ = FP cos at = Асх cos at, (в)
где Лст - вектор перемещений, возникающих при статическом при-
ложении сил Р. Поскольку к нормальным координатам перемещения
преобразуются с помощью обратной матрицы Хн1 = ХнМ, выражение (4.133) в
