Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
форм колебаний быстро уменьшаются с увеличением i. Перемещение на
незакрепленном конце стержня получаем подстановкой х = / в выражение (у).
Для момента времени t = 0, как и следовало ожидать, имеем
(")а=т(1+1т+^+---)=-^-(т)='"'-
Пример 1. Найти нормальные функции задачи о продольных колебаниях стержня
длиной I, у которого оба конца жестко закреплены.
Решение. В данном случае граничные условия имеют вид
(и)х==о = (и)хЫ = 0.
Для того чтобы удовлетворить этим условиям, в выражении (ж) положим С =
0, в результате получим частотное уравнение sin pill а = 0, откуда
находим pi - = inall. Следовательно, нормальные функции берем в форме
Xi = А{ sin (isixll), ? = 1, 2, 3, ..., оо. (ф)
Пример 2. Стержень, жестко закрепленный по обоим концам, нагружается в
середине пролета сосредоточенной продольной силой Р (рис. 5.3, а).
Исследовать колебания, которые возникнут в стержне, если внезапно убрать
силу Р.
Решение. Деформации растяжения в левой части стержня, численно равные
деформациям сжатия его правой части, составляют Bq = P0l2EF.
Распределение начальных перемещений (рис. 5.3, 6) описывается следующими
функциями: при t = 0 перемещения имеют вид gi (х) = fyx при 0 ^ х ^ 1/2 и
ga (х) - е0 (? - х) при ll2 ^ х ^ I. В предыдущем примере были определены
нормальные функции [см. выражение (ф)], относящиеся к данному случаю;
общее же выражение для
а)
329
динамических перемещений, удовлетворяющее начальному условию (й)^_0 - О,
имеет вид
00
V4 . inx inat , ,
и = } | Aj sin -j- cos-j-. (x)
1=1
Постоянные A г находим с учетом заданной формы начальных перемещений, что
дает 'г/2 г
*-г
J t:0xsin dx-f- J e0 (/ - x)sin -
I
1П
inx , dx
4 е0/ .(г-1)/2 -ioc
- л2".а (-1) при t = 1,3,5,. oo;
Ai = 0 при / = 2, 4, . . ., oo.
Искомое решение имеет окончательный вид
4е0/ VI (-i)(t-0/2 inx
и = ~^г 2j -7* sm "Т~cos Pi' (ц)
"=1, з, 5,...
Пример 3. Движущийся вдоль оси х с постоянной скоростью о стержень
останавливается при внезапном закреплении его конца х = 0. Таким образом,
начальные условия имеют вид (м)^=0 = 0 и (й){=0 = о. Найти выражение для
возникающих при этом динамических перемещений.
Решение. В данном случае общее выражение для перемещений имеет вид (5.7).
Поскольку начальные перемещения равны нулю, положим в этом выражении А; =
0. Затем получаем уравнение для определения постоянных В,:
ОО
("),="= 2j В*-2Г8т-2Г = 0*
i=I, 3, 5,...
откуда находим
8с/
В;=-
V' 1 inx , . .
2j ~TSm~2T 8Ш PiL (4)
что окончательно дает
00
8vl V' 1 /я*
И = -j-
л2а
1=1, 3, 5,...
Пользуясь этой формулой, можно вычислить перемещение произвольного
поперечного сечения стержня в произвольный момент времени. Возьмем,
например, незакрепленный конец стержня (х = /), тогда в момент времени /
= l/а (т. е. за время, которое требуется для того, чтобы звук
распространился на расстояние /) получим п еремещение
. . 8с/ / 1 1 \ с/
(И)*=' =*?Л1+_9" + "25 + "')=Т*
t=l/a '
При колебаниях стержня в нем возникают деформации, равные
du
dx
<=1 ,*_3, 5,...
330
8с/ VI 1 ,-я inx
= L -F2Tcos^rsm^-
На закрепленном конце (х = 0) имеем 00
/ du \ 4а 1 inat а " nat ^ п
\ dx )х=о~ па i Sm 21 ~~a~'' ^ 21 2
f=l, 3, 5,...
Волна сжатия, которая зарождается на левом конце стержня в момент
остановки при t = О, распространяется вдоль стержня со скоростью айв
момент времени t = lla она достигает незакрепленного конца стержня, В
этот момент скорости всех точек стержня равны нулю, а стержень равномерно
растянут так, что деформация растяжения е = via.
ЗАДАЧИ
5.2.1. Определить общее выражение для перемещений при продольных
колебаниях стержня, конец х = 0 которого не закреплен, а конец х = /
жестко закреплен.
ОО
_ inx / . inat , _ . inat \
Ответ: и= У, cos~2/~ \-------------------------------S-2/----------------
----------- Sln ~2/-)'
i'=1, 3, 5,...
5.5.2. В стержне, движущемся вдоль оси х с постоянной скоростью п,
внезапно закрепляется поперечное сечение, лежащее в середине пролета (х =
1/2). Найти выражение для перемещений при возникающих в результате
мгновенной фиксации свободных колебаниях.
_ 4 п/ V3 1 lnx tnat
Ответ: и = -^- у -хг cos -;- sin --
nza I2 I I
i=l, з, 5,...
5.2.3. Предположим, что заданная в примере 2 сила приложена на расстоянии
четверти длины х = //4, а не в середине стержня. Кроме того, на
расстоянии три четверти длины стержня х = 3/4/ приложена сила -Р0, равная
первой силе и противоположно направленная ей. Исследовать колебания,
которые возникнут, если внезапно убрать эти силы.
Р01 (-1)<1'-2>/4 . inx inat
Ответ: и = ~шг-------------------------------- Г*------------------------
-----sm -cos-
1=2, 4, 6,...
5.2.4. Пусть сила Р0 (см- рис. 5.2, а) равномерно распределена по длине
стержня, при этом интенсивность нагрузки Р0/1. Определить возникающие в
стержне динамические перемещения, когда нагрузки внезапно убираются.
" 16 PJ \Л 1 inx inat
Ответ: и = 1Ш- ^ 1Г sin cos-
i=l, 3, 5,...
5.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
