Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
ПРИЗМАТИЧЕСКИХ
СТЕРЖНЕЙ
Рассмотрим теперь возмущающую силу Р = F (t), приложенную к правому концу
призматического стержня, показанного на рис. 5.2, а. Свободные колебания
этого стержня рассматривались в предыдущем параграфе, поэтому нормальные
функции для данного случая можем записать в виде
Xt = Dt sin (inx/ 21), i = 1, 3, 5, ..., oo. (a)
331
Произвольного вида перемещение и = / (я) можно получить, про* суммировав
перемещения, соответствующие нормальным формам колебаний (а).
Следовательно, перемещения при колебаниях, обусловленных действием
возмущающей силы Р1} можно представить в виде следующего ряда:
ОО
ях , Зях , . inx ,г оч
Ы = фх sm-gj--|-Фз sin-gj- + •• • = 2j tP? sin ~2?- '
i=l, 3, 5,...
где фх, ф3, ф5, ... - некоторые неизвестные функции времени. В случае
свободных колебаний эти функции равны выражениям, стоящим в скобках в
представлении (5.7). Для того чтобы определить эти функции применительно
к случаю вынужденных колебаний, воспользуемся принципом возможной работы.
Здесь необходимо рассмотреть три вида сил: силу инерции, действующую на
каждый малый элемент колеблющегося стержня; силу упругости, действующую
на каждый элемент и обусловленную деформацией стержня, и, наконец,
возмущающую силу, приложенную к концу стержня. В качестве возможного
перемещения можно взять произвольное продольное перемещение б и,
удовлетворяющее условию непрерывности деформаций и заданному условию на
жестко закрепленном конце (Ьих=о = 0). Удобнее взять возможные
перемещения в виде нормальных функций, описываемых выражением (а):
бUi = Xt = Di sin (inx/21). (б)
Учитывая, что масса малого элемента стержня, заключенного между двумя
смежными поперечными сечениями, равна рFdx, найдем работу, совершаемую
силами инерции на заданном возможном перемещении:
1 1 тИ = j (-рF dx) ilbui = -рF j UDi sin dx.
о 0
Подставляя в это выражение представление (и) в виде ряда (5.8) и
учитывая, что
j sin sin -^~dx = 0\ j sin2 dx = 1/2, о о
получим
bWH = --^-D^t. (в)
Для того чтобы подсчитать работу 6Ц7У, совершаемую упругими силами,
заметим, что на каждый элемент действует сила EFu'dx, и тогда получим
i
Шу = J (EFu" dx) бщ.
о
332
Подставляя в это выражение вторую производную представлений
(5.8) по х и используя выражение (б) для бы,-, найдем
ст1г/ i2n2EF р. , .
б и/у ------^-Пгф;. (г)
В последующих параграфах при подсчете возможной работы, совершаемой
упругими силами, будет удобно сначала определить энергию деформации тела.
В рассматриваемом случае с упругим стержнем энергия деформации
i
и = -g- j EF (ди/дх)2 dx. (д)
о
Подставляя сюда представление в форме тригонометрического ряда
(5.8) для функции и и учитывая равенства
i
г inx inx , п
I cos cos -*2- dx = 0;
о
i
f о inx , I
J cos ^rdx = ^T'
0
найдем окончательное выражение для энергии деформации
2 ф?- <е>
1=1, 3, 5,...
Отсюда видно, что величина энергии деформации стержня в любой момент
времени зависит от величин <рг, определяющих перемещение стержня. Если
одной из этих величин задать приращение б<р;, то соответствующее
перемещение
бUi = бф; sin (inx/21), (ж)
а соответствующее приращение энергии деформации
с,, dU к i2n2EF к , .
w = бфг = ~8i-фгбф;- &
Той же самой величине, взятой с отрицательным знаком, будет равна работа
упругих сил на перемещении (ж). Для того чтобы получить работу упругих
сил на возможном перемещении (б), необходимо заменить бф, на Dt, что
следует из сравнения выражений
(б) и (ж). Таким образом, видим, что работа, определяемая выраже-
нием
ciiy _____ dU i2n2EF ,, i .
&Wy = == Й-ФА, (И)
равна работе, определяемой выражением (г).
Для того чтобы определить возможную работу бWP возмущающей силы Р,
приложенной на конце стержня, заметим, что возмож-
333
ное перемещение этого конца получается подстановкой х = I в выражение
(б), и тогда указанная возможная работа
ШР = PDt sin Щ- = PDt (-1)(.--D/a. (к)
Суммируя выражения (в), (и) и (к), найдем выражение для полной возможной
работы. Приравнивая это выражение нулю, получим
8/
или
рFI .. , i2n2EF D, ,
V" Фг Н 57 Фг = Р (- 1)(W
)/2
% + pfrt = -^ТР (-1)(<-1)/2, (Л)
где pi = inal2l\ i = 1, 3, 5, ... Отметим, что, как и следовало ожидать,
постоянная Dit определяющая мгновенное значение возможного перемещения
(б), в уравнении (л) сократилась.
Каждую из величин ср;, входящую в ряд (5.8), можно легко найти, решив
уравнение (л), если известно выражение для Р как функции от времени. Если
начальные перемещения и скорости равны нулю, необходимо рассмотреть
только колебания, обусловленные возмущающей силой Р. Представив решение
уравнения (л) в форме интеграла Дюамеля, найдем
Ъ = 4(7лар/>/2 J Р Sin В? - О] dt'. (и)
о
Подставляя представление (м) в выражение (5.8), получим выражение для
динамических перемещений стержня, обусловленных действием возмущающей
силы Р:
4 V (-1)(1'_1)/2 *
и =
парЕ
?=1, з, 5,...
sin-^jPsin [-^-(/_/')] dr. (5.9)
В качестве частного примера рассмотрим случай колебаний, возникающих в
