Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
равен 14,1 с. Для выявления на этих графиках локальных изменений,
обусловленных влиянием колебаний третьей формы, необходимо использовать
достаточно малый шаг по времени. В данном примере период собственных
колебаний по третьей форме равен примерно 3,5 с при постоянном шаге At =
0,5 с.
Теперь рассмотрим интерполирующую функцию кусочно-линейного типа (см.
рис. 1.57) и возьмем произвольную функцию /л (Atj) от времени. Тогда
кусочно-линейный вектор сил принимает вид
Qnj = 'Fs(&tj) = Pfx(Atj), /= 1, 2, 3,. .., п. (в)
В этом случае, преобразуя уравнения движения в усилиях к нормальным
координатам, получаем для i-й формы колебаний системы уравнение
следующего вида:
*г< + 2/г,хг. + P2ixri = qri> Н " (4.157)
317
4.3. Результаты расчетов, полученные с помощью
программы DYNACON3
/ tj, с Д tj, С fnr H Xtj, CM x2j, CM *3 ]• CM
0 0 0 0 0
1 0,5 0,5 4,54 0,063 0,096 0,188
2 1,0 0,5 4,54 0,241 0,396 0,719
3 1,5 0,5 4,54 0,521 0,922 1,532
4 2,0 0,5 4,54 0,894 1,676 2,550
5 2,5 0,5 8,17 1,410 2,697 3,856
6 3,0 0,5 8,17 2,108 4,003 5,524
7 3,5 0,5 8,17 2,964 5,527 7,455
8 4,0 0,5 8,17 3,924 7,198 9,543
9 4,5 0,5 1,82 4,841 8,809 11,425
10 5,0 0,5 1,82 5,570 10,117 12,776
11 5,5 0,5 1,82 6,081 10,998 13,602
12 6,0 0,5 1,82 6,337 11,366 13,919
13 6,5 0,5 5,45 6,365 11,272 13,899
14 7,0 0,5 5,45 6,180 10,853 13,675
15 7,5 0,5 5,45 5,784 10,221 13,205
16 8,0 0,5 5,45 5,225 9,469 12,456
17 8,5 0,5 5,45 4,595 8,644 11,440
18 9,0 0,5 5,45 3,998 7,747 10,211
19 9,5 0,5 7,72 3,531 6,827 8,948
20 10,0 0,5 7,72 3,218 5,959 7,828
21 10,5 0,5 2,72 2,929 5,116 6,708
22 11,0 0,5 2,72 2,535 4,249 5,451
23 11,5 0,5 2,72 2,027 3,383 4,155
24 12,0 0,5 2,72 1,443 2,499 2,924
25 12,5 0,5 4,54 0,881 1,631 1,915
26 13,0 0,5 4,54 0,424 0,864 1,224
27 13,5 0,5 6,81 0,140 0,338 0,922
28 14,0 0,5 6,81 0,063 0,208 1,039
29 14,5 0,5 6,81 0,200 0,528 1,511
30 15,0 0,5 6,81 0,556 1,278 2,299
где через <7гг,/-i обозначена величина возмущающей силы qri, приложенной
к системе в момент времени tj^. Кроме того, использовано обозначение [Аду
t,j ~1чгг, j - Qn.j-i. которое характеризует изменение силы qri на шаге A
tj по времени.
Из выражения (1.776) получаем следующее представление для динамических
перемещений по г-й форме колебаний в момент времени tj системы с
демпфированием:
xn,j = e
хп, j-1 cos pni A tj + *n' M sin Pj\i A tj
PjXi
+ iibiL [ 1 _ e-"t&tJ (cos pni A tj + jL- sin Рд1 A/y)] +
+
+
Aqn ,j
p\ Mj
A tj-
2 Щ . -П. At: 2nt ., Рд?- "? .
pj ( pi C0S Pw pip . sm Pni
(4.158a)
318
Продифференцировав это выражение но времени и поделив результат
на pai, найдем
ХГU1 =
Ртй
-*г", j-i sin pAi Atj -f *n' j~l H COS pAi Atj
PiXi
~-Ы (ЛГгг- '-1 C0S Pдг Atj + Sin p"г
+ ^Me^|A0(j + |_) з1прд|Д/; +
+ [1 - e~'!i At} (cos P* AtJ + sin p"г ] • (4-1586)
Выражения (4.158а)и (4.1586) представляют рекуррентные формулы для "
вычислений динамических перемещений и скоростей си-
4.4. Результаты расчетов, полученные с помощью программы DYNALIN3
/ lj, С A tj, с н см x2j, см *3 j, см
0 0 8,17 5,080 -5,080 2,540
1 0,5 0,5 6,36 3,188 -3,061 2,009
2 1,0 0,5 4,54 -0,925 1,323 0,963
3 1,5 0,5 2,72 -4,150 4,765 0,477
4 2,0 0,5 0,91 -4,270 4,986 1,229
5 2,5 0,5 2,72. -1,361 2,311 2,832
6 з,о 0,5 4,54 2,395 -0,810 4,295
7 , 3,5 0,5 6,36 4,440 1,775 4,845
8 4,0 0,5 6,36 3,703 0,231 4,374
9 4,5 0,5 6,36 1,168 3,790 3,589
10 5,0 0,5 6,36 -1,064 6,431 3,414
11 5,5 0,5 6,36 - 1,440 6,520 4,506
12 6,0 0,5 5,90 0,081 4,397 6,446
13 6,5 0,5 5,45 2,202 1,971 8,230
14 7,0 0,5 4,99 3,414 1,227 8,900
15 7,5 0,5 4,54 3,109 2,766 8,151
16 8,0 0,5 4,99 1,912 5,461 6,583
17 , 8,5 0,5 5,45 1,016 7,379 5,232
18 9,0 0,5 3,63 1,176 7,214 4,867
19 -j 9,5 0,5 1,82 2,222 5,166 5,364
20 10,0 0,5 0,00 3,241 2,642 5,875
21 10,5 0,5 0,00 3,284 1,140 5,065
22 11,0 0,5 0,00 2,103 1,179 4,171
23 11,5 0,5 0,00 0,317 2,024 2,141
24 12,0 0,5 0,00 -1,034 12,380 0,173
25 12,5 0,5 0,00 -1,306 1,384 - 1,224
26 13,0 0,5 0,00 -0,693 0,770 - 1,999
27 13,5 0,5 0,00 -0,030 -3,053 -2,502
28 14,0 0,5 0,00 -0,124 -4,392 -3,139
29 14,5 0,5 0,00 -1,161 -4,420 -4,041
30 15,0 0,5 0,00 -2,596 -3,658 -4,973
319
стемы с демпфированием, соответствующих каждой нормальной форме
колебаний, в момент времени tj] они также позволяют определить начальные
перемещение и скорость для интегрирования на следующем шаге по времени.
Если i-я форма соответствует движению как абсолютно жесткого тела,
выражение (4.158а) для перемещения следует заменить на
ХП, j - ХП, j-1 + ХП, ;-1
^Гг, j-1
(At})* +
А?гг, j-
¦ (Atj)3. (4.159а)
Соответственно, выражение (4.1586) для скорости заменяется на ХП, j = ХП,
;-1 + 1 A tj Г2 1 1 (A tj)2. (4.1596)
При записи этих выражений подразумевалось, что в системе нет абсолютного
демпфирования. Далее следует использовать выражения
(4.144) и (4.147).
Если вместо уравнений движения в усилиях используются уравнения движения
в перемещениях, вектор перемещений Ал;-, описываемых кусочно-линейными
