Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
данном случае примет вид
6Г1- = ХшМДет, (4.135)
307
где 6П - постоянная величина. Эквивалентную нагрузку, соответствующую i-й
нормальной форме, находим из выражения (4.77):
Яш = Pfvr <Г)
Поэтому динамическое перемещение системы с демпфированием по г-й
нормальной форме установившихся колебаний [см. выражение (4.130)1
*гг = cos (со/ - 0;). (4.136)
Преобразование этого перемещения вновь к исходной системе координат
проводится в соответствии с выражением (4.134).
Рассмотрим теперь систему со слабым демпфированием, на которую действуют
нагрузки, каждая из которых пропорциональна произвольного вида
периодической функции / (/). Тогда для вектора усилий Q можно записать
следующее выражение:
Q = F (0 = р/ (0. (Д)
где вектор Р имеет вид (б). Как и в п. 1.1, представим функцию / (/) в
виде ряда Фурье [см. выражение (1.58)]:
m
/ (/) = а0 + (aj cos ^ sin (4.137)
/=i
Коэффициенты aj, bj и a0 находим из выражений, аналогичных (1.59а)-
(1.59в).
Преобразуя уравнения движения в условиях к нормальным координатам,
получаем уравнение для произвольной формы колебаний
хи + 2я(.*Г(. + р]хг. = qTif (/), i = 1, 2, 3,. . ., п, (4.138)
где qri - постоянные величины. Из решения задачи 1.11.6 следует, что
динамическое перемещение по i-й форме колебаний системы с демпфированием
при установившемся состоянии можно представить в форме
Ри [a, cos (/со/ - 9гу) -+- Ь,- sin (/со/ - 0o-)]j, (4.139)
где коэффициент усиления
Рг/ = 1 /1/(1 - fco2/p?)2 + (2уcjoi/Pif, (4.140)
а фазовый угол
0" = arctg (4Л41)
Поскольку слагаемые, входящие в выражение (4.139) для динамических
перемещений по i-й форме, дают вклады, кратные друг другу, то в этом
случае возникновение резонанса (при /со р{] имеет гораздо большую
вероятность в случае общего вида периодической функции и менее вероятно в
случае, когда возмущения представляются одной гармонической функцией.
Поэтому заранее трудно предсказать, какая из собственных форм колебаний
окажет наиболь-
*гг
4гг
р1
а°+ 2
308
шее влияние на поведение системы. Однако после того, как функция
возмущающей силы представлена в виде ряда Фурье, можно сравнить каждую
частоту j со с частотой pt и отсюда сделать вывод о возможности
возникновения больших вынужденных колебаний.
Если используются уравнения движения в перемещениях, вектор периодических
перемещений А можно представить в виде
где Дст имеет указанный ранее смысл. Рассуждая, как и выше, видим, что в
выражении (4.139) величину qnlpj следует заменить на 6ri. Во всех случаях
полученные результаты преобразуются к исходным координатам с помощью
уравнения (4.134).
Пример 1. Предположим, что на показанную на рис. 4.3 систему действуют
возмущающие силы, описываемые периодическими функциями = Q2 = Qs = = Р
cos (ot, где (o= 1,25 1fklm. Исследовать установившееся движение масс,
предполагая, что т1= т2= щ = т, kx = k2 - k3 = k и коэффициент
демпфирования по каждой главной форме у; = 0,001 (i = 1, 2, 3).
Решение. Квадрат круговой частоты возмущающей нагрузки (ш2 = 1,5625klm)
очень близок ко второму собственному значению системы (р\ = 1,555klm),
найденному в примере 1 (см. п. 4.2). Следовательно, можно ожидать, что
основной вклад в результирующие динамические перемещения будет давать
вторая форма колебаний, несмотря на то, что характер изменения во времени
возмущающих сил аналогичен первой форме колебаний системы. С помощью
выражения (4.133) определяем нагрузки, соответствующие второй нормальной
форме колебаний системы:
Согласно выражению (4.131) коэффициент усиления для второй формы
колебаний
Из выражения (4.130) определяем динамические перемещения, соответствующие
второй форме колебаний, при установившемся движении демпфированной
системы
Преобразуя в соответствии с выражением (4.134) перемещения по второй
форме колебаний к исходным координатам, найдем
Можно видеть, что наличие малого по величине демпфирования в данной
системе оказывает большое влияние на динамические перемещения,
соответствующие второй форме колебаний. Если бы в этой системе
демпфирование отсутствовало, коэффициент усиления был бы равен р2 =
1/0,004823 = 207,3, а фазовый угол 02 = 0.
А = Аст / (/),
(е)
1
Р = 0,474-т=г- . V т
р2= l/y'(l - 1,5625/1,555)2 + 0,022-1,5625/1,555 =
= 1/У0.0048232 + 0,020062 = 48,50.
Ут cos (tot - 02) = 14,77 (P/k) У"т cos (оЦ - 02),
где [см. выражение (4.132)] имеем
, 0,02006 , л 1КО _"0оо, 02 = arctg 0,004823 = arctg 4'159 = 76 29 •
X = ХнЛ
' 10,89'
= 4,84 -j-cos (оЦ -02).j
(ж)
-8,73.
309
F(t)
P
-P
-.- -
ж/ш 2Ж/Ш Зх/ш 4XjlJ t
Поступая аналогичным образом, можем определить динамические перемещения,
соответствующие первой форме колебаний:
'0,398^
cos (со/ - бх) (з)
X =
Рис. 4.4
0,717 0,895
и третьей форме колебаний 0,0637
X = -0,0794
0,0353
cos (Ш - 03j. (и)
Амплитуды компонент обоих этих векторов малы по сравнению с амплитудами
из выражения (ж). Отсюда следует, что демпфирование оказывает
незначительное влияние на формы колебаний (з) и (и).
