Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
функциями, можно представить в форме
АЛ; = FQn;- = FP/д (Atj) = Аст/Л (Atj), j = 1, 2, 3,. . ., %. (г)
В рамках такого подхода в выражениях (4.158а) и (5.1586) множители qT i'
j-\lp\ и Aqr [t j/pj следует заменить соответственно на 6Г /_i
и Абг itj.
61 >Н
-2,5
т Щ 11 ik
*3 х2
/ \/ V' aV
\ / \ Л' 1 (f /\ V 0 л
V ц /
Г) \ / ' V/ J Х\
к \ Л ч-У
10
t, с
Рис. 4.6
Для вычислений с помощью формул (4.158а) и (4.1586) была составлена
вторая программа для ЭВМ, записанная на языке БЕЙСИК и названная
DYNALIN3. Эта программа позволяет определить динамическое перемещение при
колебаниях по первым трем формам демпфированной системы со многими
степенями свободы, на которую действует возмущающая сила в виде
кусочнолинейной функции. Программа DYNALIN3 может быть получена заменой в
программе DYNACON3 некоторых строк в процедуре, в которой используются
рекуррентные формулы и входящие в них приращения.
На рис. 4.6 в верхней части представлен график изменения
320
во времени возмущающей силы /л кусочно-линейного типа, а ее значения,
полученные на интервалах времени, равных 0,5 с, приводятся в четвертом
столбце табл. 4.4 При использовании значений вектора возмущающей силы Р =
{-0,3; 0; 0,6;} и векторов начальных условий Х0 = (2; -2; 1} и Х" =
|0;|0; 0|, а также прежних значений параметров,^характеризующих
колеблющуюся систему, с помощью программы DYNALIN3 были определены
динамические перемещения, значения которых для соответствующих форм
колебаний приведены в трех последних столбцах табл. 4.4. В нижней части
рис. 4.6 представлены графики изменения перемещений хг, х2 и х3 в
зависимости от времени, из которых видно, что характер заданных начальных
перемещений обусловливает заметное искажение колебаний третьей формы.
Поскольку возмущающая сила действует на систему только на интервале
времени длительностью 10 с, последующие динамические перемещения системы
будут определяться только свободными колебаниями этой системы.
11 Тимошенко С. П. и др.
Глава 5 КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
Все сооружения и машины состоят из частей, каждая из которых обладает как
массой, так и жесткостью. Во многих случаях эти части можно путем
идеализации представлять как сосредоточенные в точке массы, абсолютно
жесткие тела или деформируемые невесомые элементы. Подобные системы
обладают конечным числом степеней свободы, поэтому их можно исследовать с
помощью методов, описанных в предыдущих главах. Однако некоторые системы
можно исследовать и в более строгой постановке, не прибегая к
дискретизации аналитической модели. В данной главе будут рассматриваться
упругие тела, чьи массовые и деформационные характеристики распределены
непрерывным образом. В число элементов конструкций, которые можно
рассматривать подобным образом, входят стержни, валы, канаты, балки,
простые рамы, кольца, арки, мембраны, пластины, оболочки, а также
трехмерные тела. Многие из задач, связанных-с этими элементами, будут
здесь обсуждаться подробно, но вопросы, связанные с оболочками и
трехмерными телами, рассматриваются как выходящие за рамки этой книги *.
Очень трудно исследовать с позиций упругих сред такие геометрически
сложные конструкции, как каркасы, арки, пластины с вырезами, фюзеляжи
самолетов, корпуса судов и т. д. В подобных случаях необходимо
использовать дискретные аналитические модели с большим, но конечным
числом степеней свободы **.
Когда тело рассматривается как упругая среда, подразумевается, что оно
состоит из бесконечного числа частиц. Для того чтобы указать положение
каждой точки тела, требуется ввести бесконечное число координат
перемещений, поэтому говорят, что система обладает бесконечным числом
степеней свободы. Эти координаты рассматриваются как непрерывные функции,
первая и вторая производные по времени которых представляют
соответственно скорость и ускорение
* Более полное обсуждение вопроса колебаний упругих тел можно найти в кн.
Rayleigh J. W. S. Theory of sound, цитированной в п. 1.4, и Love А. Е. Н.
A treatise on the mathematical theory of elasticity. Cambridge:
University Press, v. 1, 1892, 354 p.; v. 2: 1893, 327 p.; 4th ed.: 1927.
643 p. (опубликован перевод 4-го изд.: Ляв'а. Математическая теория
упругости. М. - Л.: Гостехиздат, 1935. 674 с.).
** Обсуждение применения метода конечных элементов к исследованию
дискретных сред приводится в кн. Przemieniecki J. S. Theory of matrix
structural analysis. N.-Y.: McGraw-Hill Book Company, 1968. 468 p.
322
характерной точки. Благодаря распределению массы упругое тело имеет
бесконечное число собственных форм колебаний, поэтому его динамические
перемещения можно рассматривать как сумму перемещений по каждой из
нормальных форм колебаний.
Рассматривая колебания упругих тел, будем предполагать, что материал этих
тел однороден, изотропен и подчиняется закону Гука. Кроме того,
перемещения достаточно малы, чтобы рассматривать поведение при
динамических возмущениях как линейно упругое. Хотя в данной главе
