Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
демпфирование, так и демпфирование~по формам колебаний. Во многих случаях
для этого необходимо только в выражениях (4.145) и (4.148) величины qTi и
6П заменить на соответствующие им пары <7r0cH i и 6ГоснЬ qYoni и бгопг
или <7f0cH? и SfocHi, выражения для которых приводились в п. 4.6. Однако
в тех случаях, когда задаются перемещения опор, записанные в исходных
координатах, векторы Q0on, Аоон, Qon' и Аоп должны быть
о
ж гг + а*п - 7гг-
(4.146)
(4.147)
Г
^Гб ? Р^П-
Интеграл Дюамеля [выражение (4.145)1 принимает вид
(в)
(4.148)
о
312
преобразованы таким образом, чтобы их выражения учитывали связь между
скоростями свободных координат перемещений и ограничениями по скоростям в
опорах. Если основание перемещается в направлении оси х в соответствии с
законом хоса = Еосн (t), уравнения движения в усилиях примут вид
MX -|- СХ -|- СоснЯосн ^Х -|- S0CH.v0CII = 0, (г)
где Сосн - матрица коэффициентов влияния демпфирования на движение масс,
обусловленного движением основания. Представляя уравнение (г) в форме
уравнения (4.120), получим
MX СХ SX = Qoch = Qoch i Qoch 2> (4-149)
где
Qochi - S0Chjc0CH, Соснхосн. (4.150)
Векторы-столбцы Q0Ciu и Q0CH2 имеют в качестве компонент эквивалентные
нагрузки, соответствующие координатам перемещений и обусловленные
перемещением основания и его скоростью. Эти слагаемые можно сохранять
раздельными в течение всего исследования, при этом преобразование к
нормальным коэффициентам проводится по следующим выражениям:
Qr осн XhQoch XhQoch 1 4" XhQoch 2 Qr осн 1 "Ь Qr осн 2- (4-151)
Тогда i-e уравнение движения в нормальных координатах принимает вид,
аналогичный (1.68):
xri + 2nixri p2xri = qr осн (. = qT осн п -ц qroca i2, i = 1, 2, 3,...,
п.
(4.152)
И, наконец, переходя к интегралу Дюамеля [см. выражение (4.145) ],
получим
-n.t 1
Хп - Яга ХП2 = -~рг~г f е 1 (Яг осн а ?г осн a) si11 Рд; (i - t)dt .
о
(4.153)
Это"выражение соответствует (1.69).
Некоторое усложнение решения приведенного выше примера, в котором
задавались перемещения основания и его скорости, можно избежать, если
рассматривать ускорения основания и взять в качестве координат
относительные перемещения X* = X -¦ 1х;,сн. Как было показано в п. 1.13
[см. выражения (1.71) и (1.72)1, для системы с одной степенью свободы
отсутствует связь между перемещениями и скоростями масс и основания, если
записать их в относительных координатах. В этом случае имеется только
связь с перемещениями основания через инерционные силы, но она аналогична
тому, что имеет место в системе без демпфирования. С другой стороны, если
при анализе принимать во внимание г независимых движений в местах
закрепления, то следует отказаться от концепции движения
313
основания как абсолютно жесткого тела. В этом случае необходимо
непосредственным образом учитывать все связи между свободными
координатами перемещений и характером связей, налагаемых в опорах.
Пример 1. Предположим, что на третью массу системы, показанной на рис.
4.3, действует нагрузка в виде ступенчатой функции Q3 = Р, при этом Qi =
Q2 = 0. Считая, что в начальный момент времени система находится в покое,
определить обусловленные этой нагрузкой динамические перемещения по
нормальным формам системы с демпфированием.
Решение. Преобразуя вектор нагрузки к нормальным координатам, получим
"0" 'Ян зГ
Qr = xTHQ = хтн 0 = Ян 32
_я_ _Ян зз.
Р.
(Д)
Обусловленные действием ступенчатой нагрузки динамические перемещения по
нормальным формам (см. пример 3 в п. 1.12) имеют вид
Ян 31 [ 1 - е-п'*
ХГ = Р Ян 32 [ 1 - е~п'*
Ян зз [ 1 - е~п>*
"1
Рд1
'/V
Pi
Пъ
-Sln pAt
Рдз
)]/4
(е)
Пример 2. Предположим, что основание системы (см. рис. 4.3) перемещается
по закону линейной функции дсосн= d^/tj^, где d1 - перемещение как
абсолютно жесткого тела в момент времени tt. Определить динамические
перемещения по нормальным формам, считая, что в начальный момент времени
система с демпфированием находится в покое.
Решение. Векторы эквивалентных нагрузок в соответствии с выражением
(4.150)
"V
QochI - -S0CHx0CH -
Qoch2
Сосн-^осн -
d-J
и
(ж)
Преобразуя эти векторы к нормальным координатам [см. выражение (4.151)],
получим
Qr осн = Qr с
. + Qr осн
kid-J
Ян и
Ян 12
Ян 13.
C\d\
Ян и' Ян 12 .Ян 1з.
(з)
Динамические перемещения, обусловленные действием нагрузки, изменяющейся
по линейному закону:
где (=1, 2, 3 (см. задачу 1.12.9). Кроме того, нагрузка Qr оси2. имеющая
вид ступенчатой функции, вызывает следующие динамические перемещения по
нормальным формам (см. пример 1):
4.11. ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ
В п. 1.15 обсуждались численные решения для систем с одной степенью
свободы, при действии возмущающей силы, которые нельзя было описать
аналитическими выражениями. В двух основных подходах, использовавшихся
там, применялись кусочно-постоянные и кусочно-линейные интерполирующие
функции. Указанные подходы здесь будут применены в методе нормальных форм
колебаний при исследованиях неустановившегося поведения систем со многими
