Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Р (см. рис. 5.3, а). Определить продольные динамические перемещения
стержня, который в начальный момент времени находился в покое.
" 2IP (-1 1 ^/2 inx / , inat
Ответ: " - ж ' 1 - -
n2a2pF
S(-i)w-4/~ inx , tnat 4
ji sln J cos j j .
1=1, 3,
5.3.2. К концу x = 0 стержня, оба конца которого не закреплены,
прикладывается продольная сила Р = P1t/t1, изменяющаяся по линейному
закону во времени. Определить динамические продольные перемещения
стержня, если в начальный момент времени стержень находился в покое.
СО
" Pi/3 . 2/Pj V3 1 inx / I inat \
Ответ: и = -------- ¦ > cos -r- / :- sin -;- ) .
6pP//i n2a2pP/i i2 I \ ina I 1
t = l
5.3.3. Определить динамические перемещения при вынужденных установившихся
колебаниях жестко закрепленного на конце х = 0 стержня и не закрепленного
на конце х= I (см. рис. 5.2, а), если на него действует равномерно
распределенная по его длине сила (Pjl) sin со/.
та
" 4Pi sm со/ V3 Ь1Л (Ptxla)
Ответ: и ---------------------> -r-г, , р= - .
npFl i (pj - со2) 1 21
1=1, 3, 5 X '
5.3.4. Рассмотреть стержень, не закрепленный на конце х = 0 и жестко
закрепленный на конце х = I. Определить динамические перемещения стержня,
337
возникающие при внезапном приложении постоянной продольной силы Р в
среднем сечении стержня х - 1/2.
ГО
_ 8IP cos (in/4) inx /, inat \
0твет: Zj ------/* COS-2r\l-COS-2T)-
(=1, 3, 5
5.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ МЕТОДОМ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ
КОЛЕБАНИЙ
Подходы, применявшиеся к решению задач, излагавшихся в предыдущих
параграфах, обнаруживают известное сходство с методом нормальных форм
колебаний, с помощью которого исследовались в гл. 4 системы со многими
степенями свободы. Теперь применим метод нормальных форм колебаний к
исследованию призматических стержней с непрерывно распределенной массой и
бесконечным числом степеней свободы. Хотя метод будет сформулирован
применительно к частной задаче о продольных колебаниях призматических
стержней, общие положения рассматриваемого здесь метода нормальных форм
колебаний можно распространить на исследование произвольных упругих тел.
Вновь рассмотрим свободные продольные колебания призматического стержня,
показанного на рис. 5.1, а. Дифференциальное уравнение движения малого
элемента стержня [см. выражение (а) и (б) в п. 5.2] можно записать в виде
miidx - ru"dx = 0, (а)
где точками и штрихами обозначено дифференцирование перемещения и
соответственно по t их. Величина т = pF характеризует массу стержня,
отнесенную к единице его длины, а величина г = EF - жесткость стержня в
продольном направлении. Когда стержень колеблется по t-й собственной
форме, его перемещение
щ = Xi (At cos pj + B-L sin р^). (6)
Подставляя выражение (б) в уравнение (а), после несложных пре-
образований получим уравнение
гХ] + mp\Xi = 0, (в)
решение которого, как уже говорилось в п. 5.2, имеет вид
Xt = Ct cos (PiX/a) •-)- Di sin (piX/a), (r)
где а = у/Гr/m.
Перепишем уравнение (в) в следующей форме:
X't=XtXi, (5.11)
где
к. = -труг=-(рРау-. (д)
Уравнение (5.11) имеет форму задачи на собственные значения, в которой
собственные значения Я; и собственные функции Xt определя-
338
ются с учетом заданных концевых условий. В подобного типа задачах на
собственные значения вторая производная по х функции Xt приравнивается
самой функции, умноженной на постоянную Xt.
Проверим, обладают ли свойством ортогональности соответствующие i-й и /-й
формам колебаний собственные функции в задаче на собственные значения:
*< = № (е)
X') = Х/Х/. (ж)
Умножим уравнение (е) на X] и уравнение (ж) на Xt и, проинтегрировав
результат по длине стержня, получим
/ /
J XIXi dx -= Хс J XtXf dx; (з)
0 о
1 I
j X'jXi dx = X; j XiXj dx. (и)
о 0
Интегрирование по частям интегралов, стоящих в левых частях этих
уравнений, дает
/ i
[X'iXjti - J X'iX) dx = Xi J XtX, dx; (к)
0 0 I I
[X'/Xiti J X'Xj dx = X/ J XiXj dx. (л)
t 0
Независимо от того, являются ли концы стержня жестко закрепленными или
незакрепленными, первые слагаемые в левых частях уравнений (к) и
(л) равны нулю, поэтому, вычитая из уравнения (л)
уравнение (к), придем к равенству
i
(Xi-Xj) \ XtXjdx = 0. (м)
о
Чтобы это равенство выполнялось при i ф } и при различных собственных
значениях (т. е. при Xt Ф Xj), должно иметь место следующее равенство:
/
^XiXjdx - О при г#=/. (5.12)
о
Подставляя это равенство в уравнение (к), получим
i
^ X'iX}dx = 0 при "=/=/. (5.13)
о
Из уравнения (з) следует равенство
i
J X"iXj dx = 0 при г Ф /. (5.14)
о
339
Таким образом, видим, что для призматического стержня ортогональ* ны не
только собственные функции, но также и их производные.
При t = j интеграл в соотношении (м) может равняться произвольной
постоянной. Если эту постоянную обозначить через ah получим
j X'idx = a.i при t =/'. (5.15)
о
Если указанным способом пронормировать собственные функции, выражения (з)
и (к) примут вид
j X'lXidx = - j (X,-)2dx = Kiat = - = - <*i- (5.16)
о 0
Из последующего обсуждения уясним, каким образом следует подбирать
