Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
стержне, когда в момент времени t = 0 внезапно при) кладывается
постоянная сила Р. Тогда стоящий в выражении (5.9 интеграл легко
вычисляется и в результате находим
8/Е V (-1)(''_1)/2 , inx (. inat \ . .
2j -*-sin-l1 -cos^r)- <н)
i=1, 3, 5,...
Подставляя сюда x = l, получаем перемещение на конце стержня
оо
8IP тгл 1 / inat \ , .
1=1, 3, 5,...
Видно, что при внезапном приложении силы Р в стержне возбуждаются все
формы колебаний. Максимальное перемещение возникает
334
при t = 2На, поскольку в этот момент времени имеем 1 - cos X X (inat/21)
= 2, что дает следующее значение перемещения:
/ \ 16/Р V4
{и>х=1 = 1&W / ¦
Учитывая равенства
?
1=1, з, б,...
1=1. 3. 5,...
находим (u)x=i = 2IP/(EF). Таким образом приходим к выводу, что внезапно
приложенная нагрузка Р вызывает в 2 раза большее перемещение, чем эта же
нагрузка при статическом приложении.
В качестве второго примера рассмотрим продольные динамические перемещения
стержня с обоими незакрепленными концами * (см. рис. 5.1, а), к концу х =
I которого внезапно прикладывается сила Р. Поступая, как и в предыдущем
параграфе, и используя нормальные функции для стержня с обоими
незакрепленными концами [см. выражение (5.6)], продольные перемещения
колеблющегося стержня представим в виде следующего ряда:
, их , 2пх . Зях .
и = Фо + Ti cos -j-|- ф2 cos - [-TsCOS - -f
сю
••• =Фо+^TiCOS-^-. (5.10)
i=i
Первое слагаемое ф0 описывает движение стержня как абсолютно жесткого
тела. На это движение накладываются движения по остальным формам
продольных колебаний стержня. Для определения функции ф0 имеем уравнение
pF/фо = Р. (п)
Функции ф1; ф2, Фз, ..., как и выше, будем определять с помощью
принципа возможных перемещений. Взяв для возможного перемещения следующее
представление:
but = Ct cos (inx/1), (p)
найдем работу сил инерции на этом перемещении:
/
ШИ = - J рFuCt cos ~dx = ~ pF ICm. (с)
* Подобная задача возникает при исследовании колебаний, возникающих при
подъеме длинной буровой штанги, которая используется для бурения глубоких
нефтяных скважин. Эта задача была рассмотрена в работе Langer В. F.,
Lamber-ger Е. Н. Calculation of load and stroke in oil-well purnb rods. -
Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1943, v. 10, N. 1, p. Al--A12.
335
Энергия деформации колеблющегося стержня в произвольный момент времени
/ °о
у'=4-|"(-г)'Лг = -гт-Ё'^ М
О г=1
а работа сил упругости на перемещении (р)
XTV7 ди с i2n2EF п , .
бГу = - _бф, = 2Т~Сгфг. (у)
И, наконец, работа силы Р на перемещении (р)
8WP = PCt cos in = CtP (-1)'. (ф)
Приравняв нулю сумму выражений (с), (у) и (ф), получим уравнение
% + Р%Р{=-;атр(-1У> W
где pi = ina/t. Из этого уравнения и уравнения (и), полагая, что в
начальный момент времени стержень находился в покое, получаем
Pi2
= 2^Т: <Ц)
О
(-1)'_2/Р / J _ ,
i2n2a2pF V / / v>
Подставляя эти выражения в представление (5.10), найдем
Pt2 . 2 ip
2р FI n2a2pF
Pt2 , 2IP (-l)1 inx / . inat \ , .
ц = тт-^7-+ ¦ 2j^^~C0S~V -.cos-T~)' H
t=i
Для того чтобы найти перемещение того конца стержня, к которому приложена
сила Р, в решение (ш) подставим х = /, что дает
/ ч Pt2 , 21Р 1 / . гшЦ \ , .
{ц)х=1 - 2pFl + пга2рр 2j i2 V C0S I ) ' (Щ)
/=1
Для момента времени t ~ На имеем
1 \ pl . 4Р/ / , , 1 . 1 . \ " , .
(")*=/ 2?f + + g -f 25 + " • ) - EF ¦ (э)
В этот момент времени перемещение равно удлинению стержня при действии
постоянной растягивающей силы Р.
Пример 1. Определить динамические перемещения при установившихся
вынужденных колебаниях стержня, один конец которого жестко закреплен, а
второй свободен (см. рис. 5.2, а), если к незакрепленному концу стержня
прикладывается изменяющаяся во времени сила Р = Р± sin (at.
336
Решение. Уравнение (л) в данном случае принимает вид
2 с j\(i-1)/2
Ф,- + Р?Фг = Щ Pi sin со/.
Решая его применительно к случаю установившихся вынужденных колебаний,
получим
2Pi (-1)<с-D/2
Ф; =----F77-5----7Г- Sln
1 pFl(Pi~^)
Подставляя эти функции в представление (5.8), можем найти искомые
динамические перемещения при вынужденных колебаниях стержня. Амплитуда
колебаний соответствующего типа становится большой, когда частота со
достигает значения, равного одной трети собственной частоты колебаний
стержня.
Пример 2. Буровая штанга представляет стальную трубу длиной 101,6 м.
Рассматривая штангу как стержень с незакрепленными концами, определить
период колебаний т основной формы. Найти, кроме того, перемещение б конца
х = I в момент времени / = тг/2, обусловленное внезапным приложением к
этому концу растягивающего напряжения о= Р/F = 2,11-107 Па. Принять, что
Е = 2,11 • КР^Па, р = 7,85-103 Н-с2/м4.
Решение. Скорость распространения звука в стержне
а = У^Е/р = 5184 м/с,
а период основной формы колебаний т = 2lla = 0,47 с. Из выражения (э)
находим искомое перемещение
8= 2,1Ы0М01,6/(2,1Ы0и) = 1,02-10'2 м.
ЗАДАЧИ
5.3.1. Предположим, что в середине пролета стержня с жестко
закрепленными концами внезапно прикладывается постоянная продольная сила
