Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 129

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 178 >> Следующая

значения схг при исследовании динамических перемещений в стержне.
Как и в предыдущем параграфе, представим перемещения стержня при
продольных колебаниях в виде набора произведений, зависящих от времени
функций фг и функций Хг, описывающих перемещения:
"= L Фг*;. *=1,2, 3,..., оо. (5.17)
i
Подставляя представление (5.17) в уравнение движения (а) при свободных
колебаниях стержня, получим
ОО
2 (rn^iXi - n\>iX"i) dx = 0.
i=i
Умножая это соотношение на нормальную функцию Xj и интегрируя результат
по длине стержня, найдем
со / I 1
У] I tnifi j XiXjdx - r<\ i j X'iXjdx
i=1 \ 0 0
Учитывая условия ортогональности, задаваемые выражениями (5.12) и (5.14),
видим, что при i = / уравнение движения (и) принимает вид
тпФг = ГпФ" - 0, i==l,2, 3,...,оо, (5.18)
где
i
rriTi = т jxjdx = тай (5.19)
о
i 1
гп - - г j X'iXi dx - г j (X-)2 dx = mp\ a,-. (5.20)
о о
Здесь через mTi обозначена главная масса или обобщенная масса для t'-й
формы колебаний, через гп - главная или обобщенная
340
жесткость. Таким образом, уравнение (5.18) представляет собой уравнение
движения в главных координатах при свободных колебаниях.
Если собственные функции Xt нормируются таким образом, что имеет место
равенство
i
mTi = т j Х2с dx = 1, (о)
о
то говорят, что они нормированы по отношению к массе, отнесенной к
единице длины стержня. При таком способе нормирования главная масса тп
равна единице, постоянная сс; [см. равенство (5.15)] равна 1/т, а из
равенства (5.20) следует, что главная жесткость
Гп = р1 (п)
С учетом сказанного уравнение движения (5.18) принимает более простой вид
ф< +/Пфг = 0, t = 1, 2, 3, . . ., оо (5.21)
и тогда говорят, что это уравнение записано в нормальных координатах.
Если произвольная постоянная а; = 1, получаем mri = т и гп = тр\. Тогда
уравнение движения (5.21) будет содержать общий множитель т, на который
его можно разделить. Поэтому для удобства будем полагать сс; = 1 вместо
сс; = 1/т.
Подводя итоги сказанному, отметим, что уравнение движения (а) было
преобразовано к нормальным координатам путем подстановки в него
представления (5.17) для и, умножения на Х} и последующего интегрирования
результата по длине стержня. Когда собственные функции нормируются так,
что имеет место
/ i i
j XI dx = 1; j XiXt dx = - j {X'tf dx = - ( , (5.22)
0 0 0
обобщенная масса, соответствующая каждой главной координате, равна т, а
обобщенная жесткость составляет тр\. Однако после деления на общий
множитель т можно получить уравнение (5.21).
Воспользуемся теперь подходом, основанным на применении нормальных форм
колебаний, для определения продольных динамических перемещений в стержне
при заданных начальных условиях по перемещению и скорости. Как и в п.
5.2, предполагаем, что при t = 0 начальные перемещения
представлены в виде и0 = f1 (х),
а начальные скорости заданы в виде функции й0 = /2 (х).
Представляя функции и0 и й0 в виде рядов (5.17), получим
00
S ФоiXi=fi(x)\ (р)
1=1
00
? ФоiXi = f2(x). (с)
1=1
341
Умножив эти представления на Xj и проинтегрировав по Длине стержня,
найдем
оо I I
Y Фо; J XiXf dx = \fi (х) Х,- dx\ (т)
t=l о о
оо I I
Y Фог J XiXj dx = j /2 (x) Xj dx. (y)
(=i о 0
Из выражений (5.12) и (5.22), определяющих условия ортогональности и
ортонормированности, видно, что при i = j для начальных условий могут
быть получены следующие представления в нормальных координатах:
i
Фог = J /1 (х) Xt dx\ (5.23)
О
I
Фог = jf2(x)Xidx. (5.24)
о
Следовательно, динамическое поведение при свободных колебаниях,
выраженное с помощью нормальных форм, можно описать выражением
<рг = Фог cossin1=1, 2, 3,..., оо. (ф)
" i
Подставляя эти выражения в представление (5.17), получаем следующее
суммарное по всем формам колебаний выражение для динамических
перемещений:
и = ^ ^фог cos ptt + sin ptt j . (5.25)
Это выражение представляет обобщенную форму решений частного
вида (5.6) и (5.7).
Применим теперь метод нормальных форм колебаний к исследованию
вынужденных продольных динамических перемещений призматических стержней.
С этой целью предположим, что на стержень (рис. 5.4) действует
распределенная сила Q (х, i). В этом случае

X Ml W
Х\ с
- ....1
Рис. 5.4
342
дифференциальное уравнение движения, записанное для малого элемента
стержня, имеет вид
mildx - ru"dx = Q (хф) dx. (x)
Для удобства разделим обе части этого уравнения на т = рF, т. е. на
массу, отнесенную к единице длины. Тогда получим
iidx - a2u"dx = q (х, t) dx, (ц)
где а2 = rim = Е/р, q (х, t) = Q (х, t)lm. Преобразуем уравнение (ц)
к нормальным координатам подстановкой представления (5.17) для и,
умножением на Xj и интегрированием по длине стержня, что дает
oo/l I \ I
2 ф,- j XtXj dx - a2(pi J X'-Xj dx = j Xfq (x, t) dx. (ч)
(=1 \ 0 0 Jo
Используя условия ортогональности и нормированности, задаваемые
выражениями (5.12), (5.14) и (5.22), при i = / получим
i
ф. + Р?ф.= \Xtq(x, t) dx, i= 1, 2, 3, . . ., oo. (5.26)
0
Это соотношение представляет уравнение движения в нормальных координатах,
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed