Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
динамического перемещения по k-й координате. В соответствии с выражением
(4.66) i-я нормальная нагрузка под действием силы
qTi = (б)
272
Если в системе имеются только колебательные формы движения, то согласно
выражению (4.67) динамические перемещения по г'-й форме
Хна г
хг. = -j- j Qj sin pi (t - f) dt'. (в)
о
Преобразуя найденное значение перемещений с помощью выражения (4.58)
обратно к исходным координатам, получаем выражение для динамических
перемещений системы по k-й координате перемещения
t
i=i
ХпыХпц
Qi sin pi (t - f) dt'
(r)
Аналогичным образом можно записать выражение для динамических перемещений
системы по /-й координате перемещения, обусловленной нагрузкой Qk = Fh
(t), соответствующей k-й координате перемещения:
(*/)<?* =
<=1
ХнрХпм
Рг
Qh sin pi (t - t') dt'
(Д)
Если Qj = Qk = F (t), то правые части выражений (r) и (д) равны между
собой, и тогда для левых частей можно записать
(**)<?/= (*у)<г* ПРИ Qj = Qh = P(t)- (4-70)
Равенство (4.70) представляет собой теорему взаимности для динамических
нагрузок *, аналогичную теореме взаимности Максвелла для статических
нагрузок5. В нем говорится, что динамическое перемещение по k-й
координате перемещения, обусловленное изменяющейся во времени по
произвольному закону нагрузкой, соответствующей /-й координате, равно
перемещению по /-й координате, обусловленному той же самой нагрузкой,
соответствующей k-й координате. Теорема справедлива для систем,
обладающих формами движения как абсолютно жесткого тела, так и с
колебательными формами движения, что можно видеть, подставив в
интегральное соотношение (в) выражение (4.69) вместо (4.67).
Если колеблющуюся систему исследовать, используя вместо уравнений в
усилиях уравнения в перемещениях, то уравнение (4.61) примет вид
FMX + X = FQ = A. (4.71)
В этом уравнении через А обозначен вектор изменяющихся во времени
перемещений, определяемых из статического рассмотрения. Так как этот
вектор содержит функции времени, то он является более общим, чем вектор
Аст, определяемый выражением (3.37) в п. 3.6. Последнее обозначение
относится к вектору с'постоянными
* Это одна из теорем, приведенных в кн. Rayleigh J. W. S. Theory of
sound,
с. 151, цитированной в п. 1.4.
273
компонентами, которые представляют собой статические перемещения,
обусловленные максимальными значениями гармонической возмущающей функции.
Вектор-столбец в уравнении (4.71) может иметь компоненты, обусловленные
действиями возмущений, которые отличаются от усилий, соответствующих
координатам перемещений. Случаи, при которых изменяющиеся во времени
перемещения обусловлены движениями опор, обсуждены в следующем параграфе.
Уравнение (4.71) преобразуется к нормальным координатам путем подстановки
выражений (4.34) и (4.35) для вектор-столбцов соответственно X и X, при
этом вектор-столбец Хм нормируется, после чего получается вектор-столбец
Хн. Тогда умножением слева на вектор-столбец Хн получаем
где Fr определяется выражением (4.50), а вектор-столбец Лг имеет вид
где 8П - изменяющееся во времени перемещение по ?-й нормальной
координате.
Если обе части уравнения (4.72) умножить слева на матрицу Sr = Fp1, то в
матричной форме уравнение примет вид
Величина qT6i, определяемая выражением (4.77), представляет собой
эквивалентную нормальную нагрузку, обусловленную изменяющимся во времени
перемещением 8П. Эта величина заменяет qTi при использовании уравнений
движения в перемещениях.
Динамические перемещения по i-й нормальной форме движения на действие
эквивалентной нагрузки qr6i можно определить, также воспользовавшись
интегралом Дюамеля, что в этом случае дает
Это выражение совпадает с выражением (1.70). К величинам, найденным с
помощью выражений (4.78), затем применяется преобразование (4.58) к
исходным координатам.
или
ХнРМХнХг + Хг = XhFQ = Хн А
FГХГ -j- Хг = Дг,
(4.72)
Дг = ХнД.
Каждое из п уравнений (4.72) имеет форму
^г-^Г,- "Ь ХГ{ = (r)Гр i=l, 2, 3, . .., fl,
(4.73)
(4.74)
(4.75)
(4.76)
(4.77)
*гг = yr J <7гбг sin pt (t - t') dt' = Pi j 8r. sin pt (t - t') dt'.
(4.78)
0
0
274
Теорема взаимности для динамических перемещений6 может быть
сформулирована точно так же, как было сделано для динамических нагрузок
[см. соотношение (4.70)], а именно:
(*hb/=(*jW А;- = ДЙ = /(/). (4.79)
Из этого соотношения следует, что динамическое перемещение по k-й
координате перемещения, обусловленное изменяющимся во времени
перемещением по j-й координате, равно перемещению по у'-й координате,
обусловленному таким перемещением по k-й координате.
Пример 1. Вновь рассмотрим показанную на рис. 3.1, а двухмассовую
систему, для которой в примере 1 предыдущего параграфа были определены
динамические перемещения на заданные начальные условия. Предположим, что
к пергой массе приложена нагрузка в виде ступенчатой функции Qx = Р.
Определить динамические перемещения системы при этой возмущающей
нагрузке, считая, что в начальный момент времени система находится в
