Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 102

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 178 >> Следующая

покое.
Решение. В этом простом случае вектор внешних нагрузок равен Q = {Р\ 0).
Преобразуем этот вектор к нормальным координатам, воспользовавшись для
этого выражением (4.64):
xhQ
1
V'r.
0,526
-0,851
0,851
0,526
(е)
Применив интеграл Дюамеля к ступенчатой функции (см. выражение (1.66)],
получим форму перемещений по i-й нормальной координате
Ti
о
(ж)
Таким образом, вектор перемещений по нормальным формам имеет вид
Хг-
Подстановка р\ ¦
V т
Q,382k/m и pi = PVm
\Г:
0,526(1 - cosp^)/pfl
-0,851 (1 - cosp20/PlJ
2,618klm в выражение (з) дает 1,377 (1 - cos Pit) 1 -0,325 (1 - cos
p2t)\'
(з)
(и)
Преобразуя согласно (4.58) полученное решение к исходным координатам,
найдем
ХНХГ = -
- 0,724cos Pit - 0,276 cos p2t
- 1,171 cos -Ь 0,171 cos p2t
(K)
Из рассмотрения этих результатов видно, что массы совершают колебания
относительно точек с координатами (х1)ст= (х2)сх= Plk, соответствующими
перемещениям при статическом приложении нагрузки.
Таким путем можно определить динамические перемещения при действии
нагрузки в виде ступенчатой функции Q2= Р, приложенной ко второй массе,
что в этом случае дает
1,171 cos pi 1,895 cos pit -
0,171 cos p2t - 0,105 cosp2t
(л)
Из выражения (л) видно, что первая масса колеблется около точки с
координатой 6?i)ct= Plk, вторая масса - около точки с координатой (х2)ст-
2Plk, т. е. около точек, соответствующих перемещениям при статическом
приложении нагрузки. Из сравнения выражений (к) и (л) видно, что
динамические перемещения массы т2 при приложении к массе тх нагрузки в
виде ступенчатой функции Qi~ k равны перемещению массы /щ, обусловленной
действием приложенной к массе щ нагрузки
275
в виде ступенчатой функции Q2 = Р- Сказанное подтверждает справедливость
теоремы взаимности [см. соотношение (4.70)].
Пример 2. Предположим, что на полуопредсленную систему из примера 2
предыдущего параграфа действует нагрузка в виде линейной функции = Rt,
приложенная ко второй массе. Величина R характеризует скорость изменения
силы во времени. Определить реакцию трехмассовой системы на указанное
возмущение.
Решение. Умножая вектор-столбец приложенных сил Q = {0; Rt; 0} слева на
матрицу для данной системы, преобразуем этот вектор к нормальным
координатам
XHQ :
V 6 т
у 2
Уз
У2
0
- 2
У 2 ' -Уз
1 о У 2" 0
Rt Rt
У 6т
1 О I -2_
(м)
Перемещение по первой нормальной форме, т. тела, определяем из выражения
(4.69):
е. движение как абсолютно жесткого

= Rt3 V 2/(6 j' 6т).
(н)
Поскольку вторая форма колебаний является симметричной, она не будет
возникать при антисимметричном нагружении. Однако в соответствии с
выражением (4.67) здесь будут возбуждаться колебания третьей формы.
Подставляя в интеграл Дюа-меля заданную линейную функцию, получим решение
Хг,
-2R t
Рз
Sin Pzt ) I [Рз V 6m],
(°)
что следует из примера 1 в п. 1.12. Используя ранее найденное значение р\
= 3fe/m, перемещение системы по нормальным формам можно представить в
следующем виде:
6 У 6т
t3
t
Преобразуя этот вектор-столбец перемещений
2 т
ХНХГ :
18 т
к исходным
{3-нг {1~-к5[прз() + нг((--к^прз()
2m / 1 \
;- t---------smp,
k \ рз /.
(п)
координатам, найдем
(Р)
Фигурирующая в каждой из форм колебаний, входящих в матрицу-столбец (р),
составляющая, которая определяет движение как абсолютно жесткого тела,
равна RtV 18; в то же время среди главных форм движения только третья
главная форма соответствует колебательным движениям.
Пример 3. Вновь возвращаясь к показанной на рис. 4.2, а системе,
предположим, что заданы такие же значения масс и длин, как и в примере 3
предыдущего параграфа. Предположим также, что в середине пролета между
первой и второй массами к тросу приложена действующая в направлении х
возмущающая сила в виде гармонической функции Р sin at. Требуется
определить результирующие установившиеся вынужденные колебания этой
системы, применяя как подход, основанный на уравнении движения в усилиях,
так и метод, использующий уравнения движения в перемещениях.
Решение. Проверкой убеждаемся, что эквивалентные силы, приложенные к
массам, Q = {Р (sin at)/2; Р (sin at)/2; 0}. Умножая этот вектор на
матрицу
276
X*, получаем следующие выражения для функций возмущающих сил в нормальных
координатах:
Qr = XHQ
Р sin coi'
4/л
1
1
1/2
О
Y2
/2
P sin coi'
4/л
-f /2 /2 -/2
(c)
Опуская промежуточные выкладки, перемещения по нормальным формам можно
записать в виде
~(l + /2) Р,/р?_
Р sin tot
Lp =-
4/
т
V2 Ъ/pl (1 - /2) Р3/Р§
(т)
где коэффициент усиления для г-й нормальной формы
Рг = :---Чт-2> *'=1.2,3. (у)
1 - со>?
Подставляя в выражение (т) значения \1р\= (2+ V2)Uml(2T), \!р\= lml(2T) и
1 Ipl = (2 - /2) lml(2T), перепишем это выражение в следующей форме:
¦(4 + ЗК2)рх
PI Ym sin tot

V 2|Зг
_(4 - 3 ]/"2) рз_
(Ф)
ХНХГ
Р/ sin tot
Тогда перемещение системы в исходных координатах будет иметь форму
"(4 + 3 /2) Рх + 2ji2 + (4 -.3 V2) Р3"
2(3 + 2/2)р1 + 2(3-2|Л2)Рз . (х)
_(4 + 3 ]/"2) Рх - 2р2 + (4 - 3 ]/"2) рз_
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed