Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
колебаний имела вид
'1 1 Г
Хм= 1 0 -2 . (и)
_1 -1 1_
Предположим, что система находится в покое в тот момент, когда по первой
массе ударяют таким образом, что она внезапно приобретает скорость v.
Определить поведение системы, обусловленное этим ударом.
Решение. Нормируя матрицу Хм по отношению к матрице масс, получим
1
=
V 6 т
тогда матрица, обратная Хн, будет иметь вид
¦./¦" \vi Vr
Хн1 = Х'М =
VI
1
V2
О
-2
V2
-VI
(к)
(л)
(м)
Преобразуя не равный нулю вектор начальных скоростей к нормальным
координатам, найдем
V2
Векторы начальных условий таковы:
'0' V
X о II 0 II е ¦X 0
0 _0_
1ог
Хн'Х0 =
'Vi
V3
1
(н)
Для описания движения системы как абсолютно жесткого тела следует
использовать выражение (4.60), тогда как поведение с учетом колебательных
форм движений описывается выражением (4.55). Таким образом, динамическое
перемещение системы по нормальным формам колебаний можно записать в виде
вектора-столбца
V2t
Уз sin p2t)/p2 ¦ (°)
_ (sinp3/)/p3 _
Преобразуя эти значения к исходным координатам, получим
~2t + (3 sin рЧ)!рг + (sin p3t)/p3
*г~УЧ
X = ХНХГ:
21-
(п)
2t - (2 sin p3t)/p3 (3 sin р4)!Рг + (sin р4)/Рз_
В выражении (о) составляющая каждой формы движения, определяющая движение
как абсолютно жесткого тела, равна vt/3.
Если все массы имеют одну и ту же начальную скорость и, то вектор
начальных скоростей имеет вид Х0 = {v, v, v}, и тогда выражения (и), (о)
и (п) принимают вид
Х0г = v \РЗт
Хг = v VЗп
vt
(Р)
268
В этом случае движение представляет собой перенос системы как абсолютно
жесткого тела без колебаний.
Пример 3. Определить поведение системы (см. рис. 4.2, а) при свободных
колебаниях в случае внезапного приложения ко второй массе в направлении
оси х постоянной во времени силы Р. Предполагается, что дано: т1= тг - т
и /х =
I.
Решение. В примере 2 из п. 4.2 была получена матрица форм колебаний
=
/2
1
¦ V 2 1
(с)
Нормирование матрицы Хм по отношению к матрице М дает
Хм:
1 V 2 1 v -l Vm ' AM - 2 "1/2 1 "
/2 0 /2 /2 0 - /2
1 -/2 1 _ _ 1 /2 1 _
2 Jf т
Векторы начальных условий имеют вид
Pt 2 Т
(т)
~r 'O'
2 II o •X 0
J. .0.
(У)
В нормальных координатах начальные перемещения принимают вид
+ /2"
10Г
Хн'Хо ;
piV*
2 Т
О
- V2.
(Ф)
Пользуясь выражением (4.55), найдем реакции системы по нормальным формам
PlVm
ХГ :
2 Т
(l + /2) cos pit О
(l - /2) cos p3t
(x)
Затем определим искомые величины в исходных координатах
(l 4- /2) cos p±t + (l - /2) cos p3t (/2 + 2) cos p3t - (/2 - 2) cos p3t
(l + /2) cos pxt + (l - /2) cos p3t_
Хнхг :
PI 4 T
(")
Здесь отсутствует антисимметричная вторая форма, и в выражении (ц)
фигурируют только симметричные первая и третья формы колебаний.
Следовательно, массы тх и т3 колеблются с одной и той же формой.
ЗАДАЧИ
4.4.1. Определить поведение системы (см. рис. 4.1, а) при свободных
колебаниях, если к третьей массе в направлении оси внезапно
прикладывается постоянная во времени сила Р. Если здесь взять mx = m3~
т3= т и fex = k2 = k3 = k,
269
собственные значения и собственные векторы будут равны этим величинам,
определенным в примере 1 в п. 4.2 для первого случая.
Ответ-. х1 - Р (1,220 cos pxt - 0,280 cos p2t -f- 0,060 cos p3t)l(Ak).
4.4.2. Для трехмассовой системы, рассмотренной в задаче 4.2.2, определить
неустановившееся поведение при свободных колебаниях, если заданы
начальные условия Х0 = {0; 0; 0}; Х0 = {у; 0; -v).
Ответ: хх = v (sin p2t)/p2.
4.4.3. Для рассмотренных в задаче 4.3.3 маятников, соединенных пружинами,
определить неустановившееся поведение при свободных колебаниях, если
заданы начальные условия 00 = {0; <р; 0}, 0О = {0; 0; 0}.
Ответ: 0Х = ф (cos pxt - cos p3t)l3.
4.4.4. Определить неустановившееся поведение вращающейся системы из
задачи 4.2.4, если заданы начальные условия Ф0 = {0; 0; 0}; Ф0 = {0; 0;
0}.
Ответ: = 0 [0,543 (sin p1t)/p1 -f- 0,349 (sin p3t)/p3 -f- 0,108
(sin p3t)/p3].
4.4.5. Определить неустановившуюся реакцию системы с четырьмя массами,
рассмотренную в задаче 4.2.5, при начальных условиях Х0 = {0; 0; 0; 0} и
Х0 = = (и; 0; 0; v}.
Ответ: хх= v [t -f- (sin p3t)lp3]l2.
4.4.6. Предположим, что невесомая балка, рассмотренная в задаче 4.2.6,
вращаясь с постоянной угловой скоростью 0 относительно левой опоры,
внезапно зацепляется за правую опору. Определить неустановившееся
поведение системы при указанном начальном условии в виде начальной
скорости.
Ответ: у1= Ы [1,707 (sin p1t)lp1 - (sin p3t)/p2 + 0,293 (sin p3t)lp3]/A.
4.4.7. Для тройного маятника, рассмотренного в задаче 4.2.7, взять
начальные условия в виде Х0 = {Д; Д; Д), Х0 = {0; 0; 0} и определить
соответствующие динамические перемещения.
Ответ. хх = А (0,334 cos pxt -f- 0,314 cos p2t -f- 0,352 cos p3t).
4.4.8. Определить неустановившееся поведение рассмотренного в задаче
4.2.8 каркаса трехэтажного дома при внезапном приложении к перекрытию
третьего этажа постоянной во времени нагрузки Q3 = Р.
Ответ. хг - Ph3 (2,611 cos prt - 0,754 cos p2t -f- 0,142 cos
