Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотрим уравнения движения в усилиях для свободных колебаний без
демпфирования системы со многими степенями свободы:
MX + SX = 0. (4.30)
Умножая уравнение (4.30) слева на Хм и подставляя единичную матрицу I =
ХмХм перед X и X, получим
ХмМХмХм'Х + XtmSXmXm'X = 0, что можно переписать в виде
МГХГ+8ГХГ = 0. (4.31)
В этом уравнении векторы перемещения и ускорения
Хг = Хм'Х; (4.32)
Хг = ХмХ. (4.33)
Благодаря выражениям (4.28) и (4.29) обе матрицы обобщенных масс и
обобщенных жесткостей, стоящие в уравнении (4.31), являются диагоналными,
Обобщенные перемещения Хг, определяемые вы-
9* 259
ражением (4.32), называются главными координатами, для которых уравнение
движения (4.31) не имеет ни инерционного, ни упругого взаимодействия. Из
выражения (4.32) находим, что исходные координаты связаны с главными
координатами преобразованием
^ = ХмХг. (4-34)
Кроме того, из выражения (4.33) получаем
X = ХМХГ. (4.35)
Учитывая данное выше определение (4.27) матрицы форм колебаний, видим,
что обобщенные перемещения Хг в выражении (4.34) фигурируют как
масштабные коэффициенты перед столбцами форм колебаний в матрице Хм,
которые вводятся для получения значений действительных перемещений X.
Таким образом, главные координаты системы со многими степенями свободы
являются собственными формами колебаний.
Задачу на собственные значения (а) можно переформулировать в более ясной
форме, заменив Хмг на Хм [см. выражение (4.27) ]:
SXM = МХмр2. (ж)
В уравнении (ж) р2 - диагональная матрица со следующими значениями р\ на
диагонали:
Р2 =
р\ о о ... О
О р\ о ... о
о о ^ о
о о о ... pi
(4.36)
Эта матрица, иногда называемая спектральной, будет
рассматриваться как матрица собственных значений или матрица
характе-
ристических значений. Матрица Хм в уравнении (ж) умножается справа на
матрицу Хмг, поэтому произвольный столбец, определяющий соответствующую
форму колебаний, масштабируется соответствующим собственным значением р\.
Умножая уравнение (ж) слева на матрицу Хм и используя выражения (4.28) и
(4.29), получим
Sr == МГр2, (4.37)
откуда найдем
•^г; = Мг ipi. (з)
Таким образом, в главных координатах i-я главная жесткость равна i-я
главной массе, умноженной на Те собственное значение.
Поскольку векторы, компоненты которых определяют форму колебаний, можно
умножать на произвольное постоянное число, то главные координаты не
определяются единственным образом. В действительности имеется бесконечное
число систем таких обобщенных перемещений, но наиболее часто выбирается
такая, при которой
260
матрица масс преобразуется в единичную матрицу. Формулируя это ^условие,
покажем, что постоянная Mri в соотношении (4.25) должна равняться
единице, а именно:
Хн,-МХш = Мщ = 1, (и)
где
= (К)
При этом условии масштабированный собственный вектор Хш называется
нормированным по отношению к матрице масс. Скалярную величину С, из
выражения (к) определяем по формуле
С, = ± У Х'шМХш = ±]/s х" " (? MA") . (4.38)
Если матрица масс диагональная, эта формула упрощается до
C' = ±l/ ?(MjX2m/i-). (4.39)
г /=1
Когда все векторы, составляющие матрицу форм колебаний, будут указанным
образом пронормированы, индекс М изменим на Н и введем обозначение Хн
вместо Хм. Тогда\главная матрица_масс, определяемая выражением (4.28),
примет вид
ХнМХн = Мг = I- (4.40)
С учетом выражений (4.29) и (4.37) для главной матрицы жесткостей можно
записать
XhSXh = Sr = р2- (4-41)
Для i-й формы колебаний это выражение принимает следующую форму:
XhjSXhi = Sr; = р\- (л)
Таким образом, когда собственные векторы нормируются по отношению к
матрице М, жесткости в главных координатах равны собственным
значениям. Эта частная система главных координат на-
зывается нормальными координатами.
Для иллюстрации использования нормальных координат в уравнениях,
записанных через усилия, рассмотрим три массы, закрепленные на растянутом
тросе (см. рис. 4.2, а). Собственные векторы этой системы, полученные в
примере 2 предыдущего параграфа, являются столбцами матрицы форм
колебаний
Г 1 1 11
Для того чтобы пронормировать эту матрицу по отношению к матрице ml, из
выражений (4.39) найдем
C1 = '[/"m(l)2 + m(|/2)2 + m(l)2 = 2 V т;
С2 = V т (1)2 |- m (О)2 |- т(- 1 )2 = V 2т;
С3 ="[/"т (I)2 + т (- V 2)2 + ш (I)2 = 2 Vm.
Разделив столбцы матрицы Хм на эти значения, получим
1 1/2 1
1
2 V~r
V 2 1
О -1/2 1/2 1
(н)
Матрица жесткости для этой системы имеет вид
2 -1 О"
Т
S - -
-1 2 -1 О -1 2
Подставляя выражения (н) и (о) в (4.41), получаем матрицу
2 - V 2 О О
0 2 0
(0)
т
Sr = is
О
О 2 + V 2
(п)
у которой на диагонали располагаются значения р\, р\ и р\ (см. ответы к
задаче А.4.2.1). Разумеется, собственные значения, фигурирующие в
выражении (г), были уже получены выше, поэтому преимущества
преобразования матрицы жесткости к нормальным координатам здесь не
очевидны. Эти преимущества станут видны при определении поведения систем,
описанных в последующих параграфах.
Вместо того чтобы пользоваться уравнениями движения в форме (4.30),
