Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 98

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 178 >> Следующая

выражение (4.53) и представлением М = UTU в уравнение (4.40), откуда
следует
Vх (и-1)1, UTUU'1V = I.
Таким образом видим, что собственные векторы в исходных координатах
являются нормированными по отношению к матрице М.
4.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ С
УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
Из уравнения (4.43) предыдущего параграфа видно, что типичной формой
уравнения для свободных колебаний^без демпфирования в нормальных
координатах является следующая:
Хп + р1хп = 0] 1 = 1, 2, 3, . .., п. (4.54)
Каждое уравнение подобного типа не связано со всеми остальными, поэтому
оно будет рассматриваться как относящееся к системе
265
с одной степенью свободы [см. уравнение (1.1)]. Если бы для каждой
нормальной координаты можно было определить начальные условия, заданные
относительно перемещения х0гi и скорости хоГ;
при / = О, то можно было бы определить поведение системы при
свободных колебаниях по г'-й форме:
*ri = 'Wicos/^ + -^rsin/7;;', г = 1, 2, 3, п. (4.55)
Pi
Это выражение получено из решения (1.5) для системы с одной степенью
свободы, колеблющейся без демпфирования.
Из выражения (4.32) получаем начальные перемещения, выраженные в
нормальных координатах:
ХОГ = Хн1Хо, (4.56)
где Х0 и Хог - векторы начальных перемещений соответственно в исходных и
нормальных координатах следующего вида:
*01 *0Г1
*02 *0Г2
1] о X *03 . Хог = *огз
_*0П_ *0Г71
Аналогичным образом можно записать начальные скорости системы через
нормальные координаты с помощью преобразования
Хог = Хн'Хо, (4.57)
где Х0 и Хог - векторы начальных скоростей, выраженные, соответственно,
через исходные и нормальные координаты. Соотношение (4.57) получаем путем
дифференцирования соотношения (4.56) по времени, при этом форма каждого
вектора скорости аналогична форме каждого вектора перемещения в
выражениях (а).
Имея требуемые начальные условия, выраженные через нормальные координаты,
можно путем повторного применения решения (4.55) определить компоненты
вектора Хг = [хг;1 перемещений при нормальных формах колебаний системы.
Полученные значения затем преобразуем вновь к исходным координатам,
используя преобразование (4.34), что дает
Х = ХНХГ. (4.58)
Такая последовательность операций остается неизменной независимо от того,
записаны исходные уравнения движения в усилиях или перемещениях. Однако в
подходе, использующем уравнения в усилиях, существует возможность
появления одной или нескольких форм движений кап абсолютно жесткого тела.
Для главной формы подобного типа собственное значение равно нулю, поэтому
уравнение (4.54) принимает вид
хп = 0. (4.59)
266
Интегрируя это уравнение дважды по времени, получим
xri - xori "Ь Xorit- (4.60)
Уравнение (4.60) используется вместо (4.55) для того, чтобы опи-
сать поведение в нормальных координатах по форме, соответствующей
движению как абсолютно жесткого тела.
Пример 1. В п. 3.5 были определены динамические перемещения двухмассовой
системы при свободных колебаниях (см. рис. 3.1, а), при этом
произвольные постоянные находились из начальных условий х01 =
х02 = 1 и х01 = х02 - 0. Получим
те же самые результаты с помощью метода нормальных форм колебаний.
Решение. В предположении, что rrii = щ = т и kx = кг = k, ранее
были
определены собственные значения системы р\ = 0,382klm; pi = 2,618k/m.
Кроме того, были найдены значения отношений амплитуд ^ = 0,618 и гг =-
1,618. Следовательно, матрица форм колебаний имеет вид
0,618 -1,618'
.1,000 1,000.
Для того чтобы пронормировать эту матрицу по отношению к матрице М = ml,
из соотношений (4.39) определим скаляры
Ci = Yт (+0,618)3 + т (1,ООО)3 = 1,175 ]Лт;
С2 = Vт (-1,618)2 + т(1,ООО)3 = 1,902 ]Лт.
Разделив столбцы матрицы Хм на эти значения, получим
0,526 -0,85 Г
ХМ =
(б)
ХН:
1
Y*
0,851 0,526
(в)
Обращение матрицы Хн, необходимое для преобразования исходных данных к
нормальным координатам, получаем в соответствии с выражением (4.446):
0,526 0,851
X-1
Лн
ХТНМ:
Yr,
.-0,851 0,520 Начальные условия в векторной форме имеют вид
(г)
1" , х0 = 0"
.1 .0.
(д)
В соответствии с выражением (4.56) вектор не равных нулю начальных
перемещений преобразуем в нормальных координатах следующим образом:
1,377
хог ~ хн'х0 - Yт
-0,325
(")
ХГ =Y'r,
Х = ХНХГ =
Дважды воспользовавшись выражением (4.55), получим вектор решения в
нормальных координатах
1,377 cos Pxf -0,325 cos p2t
Затем с помощью обратного преобразования (4.58)*приходим к выражению,
определяющему поведение системы в исходных координатах:
"0,724 cos р^ + 0,276 cos p2t
1,171 cos p^ - 0,171 cos p2t
Полученный результат совпадает с найденным в п. 3.5.
Пример 2. Для примера, где имело место движение как абсолютно жесткого
тела, рассмотрим'систему стремя массами (см. рис.'.4.1, а) и положим kt -
0. Кроме того, предположим, что тх = т2 = т и k2 = k3 = k. Как было
найдено выше (см. пример 1 в п. 4.2), здесь собственные значения р\ =0,
р| = k/тГи р\ =
(ж)
О)
267
= 3k/m. Так же были получены собственные векторы, при этом матрица форм
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed