Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы воспользоваться методом, в котором для решения этой задачи
применяются уравнения движения в перемещениях, запишем сначала вектор
перемещения Д в виде следующего произведения:
167"
FQ
PI sin tot 8t
3 2 2 4 Г 2 ~ Г 1 PI sin tot "5" 6
.1 2 3 A 8T .3,
(Ц)
Эти ^перемещения с помощью выражения (4.73) преобразуем к нормальным
координатам вида
хн А
PI /m'sin tot
16f
1 /2 1 "5" '4 + 3/2
/2 0 -V2 6 PI Ym sin tot 8T /2
_ 1 - /2 1 _3_ _4 - 3 /2_
(ч)
Видно, что этот вектор описывает те же самые перемещения по нормальным
формам, что и полученные в выражении (ф). Окончательный результат будет
совпадать с выражением (х).
ЗАДАЧИ
4.5.1. Для трехмассовой системы (см. рис. 4.1, а) дано т1= т2 = та- т
и fej = k2 = ka = k. Определить динамические перемещения этой системы при
действии приложенной к третьей массе возмущающей силы в виде
гармонической функции Q3= Р cos tot.
Ответ: х1 = (Р cos tot) (0,2^2$Jp\ - 0,436|3.2/р| + 0,194|33//7§)/m.
277
4.5.2. Определить динамические перемещения трехмассовой системы,
рассмотренной в задаче 4.2.2, при действии приложенной к первой массе
силы в виде стунеычатой функции Qi = Р. _
Ответ: хх = Р [6 - (2 + 2) cos рД - 2 cos p2t - (2 - У2) cos
p3t]/(8k).
4.5.3. Предположим, что к центру тяжести центрального маятника (см.
задачу 4.2.3) приложена в горизонтальном направлении и направо
изменяющаяся по линейному закону сила Rt. Определить динамические
перемещения этой системы при малых углах поворотов.
0твет: 0=-гш: [ (* ~ тгs'mpii) И _ 0 ~ i:sinps<) IPi] ¦
4.5.4. Для системы, рассмотренной в задаче 4.2.4, определить динамические
перемещения при действии крутящего момента Т sin со/, приложенного в
середине пролета между вторым и третьим дисками.
Ответ-, ф! = (Т sin со/) (0,218Pi/p"j - 0,097(32/p!j - 0,121(33/р§)/7.
4.5.5. Определить динамические перемещения четырехмассовой системы,
рассмотренной в задаче 4.2.5, при действии сил в виде ступенчатых функций
Q1 - - Qs - Р, приложенных к первой и четвертой массам.
Ответ: хг= Р [(/2 + (1 - cos p3t) mlk] 4m.
4.5.6. Предполагая, что к установленным на балке массам тг и т3 (см.
задачу 4.2.6) приложены силы в виде линейных функций Q1 = Q3 = Rt,
определить динамические перемещения системы.
Ответ:
sin*0 1р1+((-~к sinp>() Iр|] •
4.5.7. На тройной маятник (см. задачу 4.2.7) действует в направлении оси
х сила Р cos wt, приложенная в середине пролета между первой и второй
массами. Определить установившиеся динамические перемещения системы.
Ответ: хх = (Р cos со/) (0,077Р1/р'| -f- 0,290(3Jpj + 0,132(33/p§)/m.
4.5.8. Исследовать поведение каркаса трехэтажного здания (см. задачу
4.2.8) при действии одновременно приложенных к каждому междуэтажному
перекрытию нагрузок в виде ступенчатых функций Qi= Q3= Q3= P.
Ответ: xx = PH3 (5,977 - 4,820 cos pLt - 0,821 cos p3t - 0,336 cos
p3t)l(\44EI).
4.5.9. Определить динамические перемещения подвешенной на пружинах массы
(см. задачу 4.2.9) при действии изменяющейся по линейному закону силы Rt,
приложенной к этой массе, направленной по оси г.
Ответ:
*1 = -г- ( t---------- sinp2t) .
pirn \ p3 1
4.5.10. Исследовать установившиеся динамические перемещения рамы,
рассмотренной в задаче 4.2.10, при действии силы Р sin a>t, приложенной в
точке В и направленной по оси у.
Ответ: хх - (Р sin wt) (0,095(3Jp\ - 0,146(3Jp\ -{- 0,052(33/р|)/тД>
4.5.11. Пусть на систему, рассмотренную в задаче 4.2.11, действуют
в^напра-влении оси у приложенные к первой и третьей массам силы в виде
линейных функций Qi = Q3 = Rt. Определить динамические перемещения
системы.
Ответ:
у1 = И{3+3({~~к sinps0 /pl] •
4.5.12. Для системы, рассмотренной в задаче 4.2.12, найти динамические
перемещения при действии силы в виде ступенчатой функции Р, приложенной в
направлении оси у к центру тяжести правого стержня; принять I =
0,915 м.
Ответ: уг = Р (0,0379 - 0,0631 cos pxt -{- 0,0252 cos p3t)/k.
278
4.6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
ПРИ ЗАДАННЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ ОПОР
Во многих случаях, обсуждавшихся выше, исследовались такие системы со
многими степенями свободы, поведение которых было обусловлено не
действием возмущающих сил, а движением опор. Например, если перемещения
(см. рис. 4.1, а) основания в направлении оси х можно описать функцией
-*'ОСН = F осн(0> ((r))
то уравнение движения в усилиях примет вид
MX + SX* = 0, (б)
где вектор-столбец X* характеризует перемещения сосредоточенных масс
относительно основания
X* = X - 1хосн. (в)
В выражении (в) обозначение 1 используется для представления вектора с
равными единице компонентами, который указывает на то, что перемещение
хосп берется п раз. Подобный прием использования перемещений основания
аналогичен подходу, который применялся выше для систем с одной или двумя
степенями свободы [см., например, уравнение (к) в п. 1.6]. Однако более
общий подход состоит в том, чтобы записать уравнения движения в
эквивалентной форме
MX -j- SX -f- S0CHx0CIj - 0, (г)
