Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 97

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 178 >> Следующая

умножим их слева на матрицу М"1 и тем самым приведем их к виду уравнений,
записанных через ускорения:
X + M^SX = 0.
(4.42)
Это уравнение можно преобразовать к главным координатам, подставив
выражения (4.34) для X и (4.35) для X. Тогда, умножив слева на матрицу
Хм, получим
Xr + XM,M-ISXMXr = 0. (р)
Если в матрице коэффициентов уравнения (р) поместить перед S единичную
матрицу I = (Хм')тХм, то придем к соотношению
ХЯ'М'1 (ХмУ == Mr'Sp - р2. (с)
262
Отсюда следует записанное в главных координатах матричное уравнение для
ускорений
хг + р*хг = 0, (4.43)
которое можно получить также, умножив слева уравнение (4.31) на матрицу
Mf1. Поскольку один и тот же результат получается с помощью различных
подходов, можно обойтись без уравнения (4.42), которое требует построения
матрицы М-1. Разумеется, обращение матрицы М не представляет труда в том
случае, когда она диагональная, однако если она заполненная, то
нахождение матрицы М-1 значительно усложняется.
С другой стороны, матрица Мг всегда является диагональной, поэтому
обращение ее выполняется просто. Эго обстоятельство важно при
обращении матрицы форм колебаний. Формулу такого
обращения получаем умножением уравнения (4.28) справа на
матрицу Хм1 и умножением слева на матрицу Хм1:
Хм=М?'ХмМ. (4.44а)
Если собственные векторы нормируются по отношению к матрице М, все
главные массы будут равны единице и в результате получим
Хм1 = ХмМ. (4.446)
Формулы, аналогичные (4.44а) и (4.446), можно получить из уравнения
(4.29), записанного с использованием матриц жесткостей, в том числе и
главных. Однако, если собственные векторы не нормируются по отношению к
матрице S, предпочтительнее использовать выражения (4.44а) и (4.446).
Если вместо уравнений движения в усилиях использовать уравнения в
перемещениях, вместо уравнения (4.30) надо взять
FMX + X = 0. (4.45)
Взяв выражения (4.34) для X и (4.35) для X, можно записать это уравнение
в главных координатах, для чего умножим его справа на мггрицу Хм, откуда
получим
XmFMXmXf -)- Хг = 0. (т)
Если перед матрицей М подставить единичную матрицу 1 = = (Хм')тХ.м,
матрица коэффициентов в уравнении (т) примет вид
Xm'F (Х^)т ХмМХм = FrMr. (у)
Ь уравнении (у) соответствующая матрице Sr главная матрица податливостей
Fr ¦- Xm'F (Хм)т = Sr'- (4.46)
Естественно, такое представление возможно только в том случае, если
матрица S (а отсюда и Sr) является положительно определен-
263
ной. Таким образом, уравнения движения в главных координатах можно
записать так:
FrMryvr
гХг + Хг = 0. (4.47)
Далее, равернутую форму (ж) задачи на собственные значения заменим на
следующую:
FMX
м
: хмь.
(Ф)
В уравнении (ф) матрица к собственных значений имеет диагональный вид,
при котором на диагонали располагаются собственные значения кг.
К
О
О
О
к2
о
о
о
к3
о
о
о
О О О ... К_
(рТ1-
(4.48)
Умножая уравнение (ф) слева на матрицу Хм1 с учетом соотношения (у),
найдем
FrMr = к. (4.49
Когда матрица форм колебаний нормируется по отношению к матрице масс,
главная матрица податливостей в соответствии с выражениями (4.46) и
(4.49) принимает вид
XhF (Хн)т = Fr = ^ = (р2) (4.50)
Таким образом, матрица податливостей в нормальных координатах
превращается в матрицу собственных значений к, которая
также
равна (р2)-1. Отсюда заключаем, что уравнение&(4.43) принимает форму
уравнений движения в нормальных координатах, независимо от способа
получения уравнения в исходных координатах. В качестве примера
использования нормальных координат в уравнениях, записанных через
перемещения, вновь рассмотрим задачу о трех массах, закрепленных на
предварительно растянутой нити (см. рис. 4.2, а). Для этой системы
матрица податливостей имеет вид
'3 2 Г
I
~W
2 4 2 1 2 3
(х)
Обращая матрицу Хн [см. матрицу (н) ] в соответствии с выражением (4.446)
и подставляя результат вместе с матрицей (х) в соотношение (4.50),
получим матрицу

~W
1/2
0
0
0
1 о
о
о
2 - V2
(ч)
264
диагональными элементами которой являются Xi = Мр\, Х2 = = llpt и 13 =
l/pl (см. пример 2 в п. 4.2).
Как уже говорилось в конце предыдущего параграфа, задачу на собственные
значения часто решают после преобразования ее к стандартной форме с
симметричной матрицей коэффициентов. При использовании такого подхода
собственные векторы обычно нормируют, чтобы их длина равнялась единице.
Введя обозначение Vi для такого нормированного собственного вектора,
получим
V"V,= 1. (ч)
Собственный вектор, соответствующий стандартной форме [см. уравнение
(4.12а)], масштабируется для того, чтобы получить вектор V;:
= И
где скалярная величина
Dt = ± Y*ш\т = ± |/ ? хЬи- (4-51)
При таком способе нормированная матрица V форм колебаний обладает
следующим свойством:
VTV = I, V-1 = VT (4.52)
и обычно называется просто ортогональная матрица. Преобразуя эту матрицу
форм колебаний вновь к исходным координатам [см. выражение (4.126) в п.
4.2], получим
XH = U-1V. (4.53)
Чтобы доказать, что в результате такой операции получаем Хн, подставим
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed