Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
следует
А*сн = FQoch = -FM1 хосн. (4.93)
Тогда перемещение системы относительно основания можно определить, взяв
А* вместо Аосн.
Выше были обсуждены четыре способа исследования движений частного вида
системы со многими степенями свободы (см. рис. 4.1, а) при наличии
движения основания. Если использовать уравнения движения в усилиях, с
помощью выражения (4.81) можно определить эквивалентные нагрузки для
заданных перемещений, а с помощью выражения (4.86) те же нагрузки для
заданных ускорений. Последняя процедура легче первой, однако при этом
вычисляются динамические перемещения относительно движущегося основания.
С другой стороны, когда записываются уравнения движения в перемещениях,
зависящие от времени, свободные координаты перемещений, обусловленных
перемещениями основания, определяются из выражения (4.88), а когда
задаются ускорения перемещений, эти координаты определяются из выражения
(4.93). Сравнивая оба выражения, видим, что первое удобнее второго. Более
того, выражение (4.88) также проще, чем выражения (4.81) или (4.86),
используемые в подходах с применением уравнений движения в усилиях.
Следовательно, в том случае, когда заданы перемещения основания и не
трудно определить податливости системы, предпочтительнее подход,
основанный на использовании уравнений движения в перемещениях. Это,
безусловно, справедливо и для показанной на рис. 4.1, а статически
определимой системы, в которой возникают перемещения как абсолютно
жесткого тела при движениях основания. Однако для статически
неопределимых систем, как правило, удобнее методы, в которых используются
уравнения движения в усилиях.
Пример 1. Предположим, что основание, на котором установлена двухмассовая
система (см. рис. 3.1, а), внезапно переместилась вправо как абсолютно
жесткое тело, при этом перемещение представляется в виде ступенчатой
функции хосн= d. Определить динамические перемещения системы,
обусловленные указанным внезапным перемещением основания, если дано: т1-
т2 = т, = k2 = k.
Решение. Согласно подходу, основанному на использовании уравнений
движения в усилиях, определим с помощью выражения (4.81) эквивалентные
нагрузки, соответствующие свободным координатам перемещений:
- -S0CHx0Ch - S1 хосн :
' 2/г -К Т kd
d =
-k k .1. _0
(и)
282
Преобразование этого вектора-столбца к нормальным координатам согласно
выражению (4.82) дает
X"Qoc" :
1 Г 0,526 0.85Г Г kd kd ' 0,526"
Уm [-0,851 0,526 Lo IS 1 -0,851
(к)
Применяя выражение (4.84) дважды, определим перемещения в нормальных
координатах,^обусловленные влиянием заданного перемещения в виде
ступенчатой функции:
v kd \ О, лг = ,-
У т L-О,
526 (1 - cos Pit)/p\ 851 (1 - cos рг/)/р|.
= dV~t.
U:
377 (1 325 (1
В исходных координатах искомое решение принимает вид
" 1 - 0,724 cos рД - 0,276 cos р2/ _1 - 1,171 cos рД + 0,171 cos p2/
cos p^t) - cos p2/)
X = XHXr = d\
(л)
(m)
аналогичный тому, что имел место в случае приложения к первой массе силы
в виде ступенчатой функции (см. пример 1 в предыдущем параграфе), если
там множитель Plk заменить на d.
Для того чтобы решить эту задачу с использованием уравнений движения в
перемещениях, найдем из выражения (4.88) переносы свободных координат
перемещения, обусловленные заданием основанию перемещения в виде
ступенчатой функции:
(н)
T d
1 *OCH - J. d - d
В нормальных координатах этот вектор-столбец преобразуется к виду
Г оси
Хн Дос
0,526 0,851 -0,851 0,526
= d У л
1,377
-0,325
(о
Дважды-применяя выражение (4.91), получим те же значения для перемещений
в нормальных координатах, что и в выражении (л). Последующим
преобразованием координат вновь получаем окончательные результаты в виде
(м).
Пример 2. Для трехмассовой системы (см. рис. 4.1, а) дано: т1 = т2 = т3 =
= т, k± = k2 = k3 = k. Определить динамические перемещения этой системы,
обусловленные заданным в виде параболической функции ускорением основания
*och=<M2/*i. гДе ai - ускорение основания в момент времени tx при
перемещении его как абсолютно жесткого тела.
Решение. Рассматривая задачу сначала в соответствии с методом, в котором
используются уравнения движения в усилиях, получим с помощью выражения
(ж) эквивалентные нагрузки Q* для данной системы
-аД2т
~Ч
(п)
В нормальных координатах этот вектор-столбец имеет вид
'0,328 0,591
*Г оси
ХКс" = -
-ait2 У г.
ч
0,737'
-0,591
0,328
-аД2 У'.
0,737 0,328
.0,591 -0,737 1,656'
0,474 0,182.
Трижды применяя интеграл Дюамеля, найдем
'1,656 [Д -2(1 - cos рДДр'Д/р? 0,474 [t2 - 2 (1 - cos р2/)/рЦ/р| .0,182
[Д-2(1 - cos p3t)/pl]/pl
Qi Vr,
4
(p)
(c)
283
хнхг
-aiV г, t\k
-щт
ТрГ
где каждое решение, представляющее элемент матрицы столбца, соответствует
форме колебаний, приведенной в ответе задачи 1.13.6 (см. п. 1.13).
Подставляя значения 1 lp\ = 5,05mlk, 11р\ = 0,643mlk, 11р\ = 0,308mlk в
выражение (с), получим
8,363 [t2 - 10,10m (1 - cos Pit)lk]~
0,305 [t2-l,286m(l-cos p2t)/k] . (t)
0,056 [t2 - 0,6l6m(l - cosp3t)/k]
