Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 100

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 178 >> Следующая

p3t)l(\4AEI).
4.4.9. Пусть масса (см. задачу 4.2.9) имеет начальную скорость vx в
направлении оси х, а остальные компоненты начальной скорости и
перемещения равны нулю. Определить характер результирующего движения
системы.
Ответ: х± = vx [0,708 (sin р^/р! -f- 0,292 (sin p3t)/p3].
4.4.10. Предположим, что постоянная во времени сила Р приложена в
направлении оси у в точке С рамы, рассмотренной в задаче 4.2.10.
Определить реакцию системы при внезапном приложении этой силы.
Ответ: хх = РР (26,40 cos pxt - 2,381 cos p2t - 0,021 cos p3t)/(48EI).
4.4.11. Определить динамические перемещения системы, рассмотренной в
задаче
4.2.11, при начальных условиях Y0 = {0; 0; 0}; Y0 = {у; 2v; v).
Ответ: ух = v [At - (sin p3t)lp3]/S.
4.4.12. Для системы, рассмотренной в задаче 4.2.12, определить ее
динамические перемещения при начальных условиях у01 = Д; 0Oi = 002 = 0;
у31 - 0; 001 ~ 002 = 0, если задано I = 0,915 м.
Ответ: ух= Д (1,367 cos pxt - 0,367 cos p3i).
4.5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНИХ СИЛ
Рассмотрим теперь случай системы со многими степенями свободы, к которой
приложены внешние силы, соответствующие координатам перемещения.
Матричная форма уравнений движения в усилиях имеет вид
MX -j- SX = Q, (4.61)
270
где через Q обозначена следующая матрица-столбец (или вектор-столбец)
приложенных к системе изменяющихся со временем сил:
~Qi~ it)
Q2 Fiii)
Q = Qs = F>(t)
_Q"_ _Fn(t)_
Умножая слева обе части уравнения (4.61) на матрицу Хм и используя
представления (4.34) и (4.35), преобразуем это уравнение к главным
координатам
ХмМХмХг + Хм8ХмХг = XTMQ.
Это уравнение можно переписать в следующей форме:
MrXr + SrXr = Qr, (4.62)
где матрицы Мг и Sr определяются, соответственно, выражениями (4.28) и
(4.29). Через Qr в уравнении (4.62) обозначен вектор-столбец внешних сил,
записанный в главных координатах:
Qr = XmQ- (4.63а)
В развернутой форме произведение этих матриц имеет вид
Qn ^MiiQi "b ^mi2Q2 -^MaiQa "Ф" ' ' ' XMn.iQn
Qr2 ^Mi2Q2 -^MaaQa ~\~ ' ' Ф- Xp^riiQn
Qrs = *MlSQi'! ^m2:iQ'2 -\r -^Ma.iQa + ' ' ¦ 4~ -^m neQn .
(4.636)
_Qrn_ _XmnQi \- X^nQi 1 XM,"QS -j- ¦ . . - j- X^TinQn-
Если матрица форм колебаний нормируется по отношению к матрице масс,
выражение (4.63а) принимает вид
Qr = XhQ, (4.64)
a j'-e уравнение движения в нормальных координатах запишем в следующей
форме:
Хп + Р&п = <7п, г = 1, 2, 3, . .., п, (4.65)
где i-я нормальная сила имеет вид
Яп - -^HliQl "Ъ *H2iQ2 "~Ь ^H3iQ3 -f- • ¦ • XBniQn. (4.66)
Определяемая выражением (4.66) величина qri обозначает i-ю нор-
мальную координату приложенной силы. Она вводится для того, чтобы сделать
равным единице ускорение обобщенной единичной массы.
Каждое из п уравнений (4.65) является несвязанным со всеми остальными и,
как можно видеть, имеет такую же форму, как и в случае системы с одной
степенью свободы. Поэтому динамические
271
перемещения системы на внешнее воздействие по i-и нормальной координате
можно вычислить, используя интеграл Дюамеля:
t
хп ~~J7 | 9ггsin Pi {t - t') dt'. (4.67)
о
Это выражение записано в соответствии с выражением (1.64) из п. 1.12,
полученным для системы с одной степенью свободы без демпфирования, в
начальный момент находившейся в покое. Это выражение используется для
определения компонентов вектора Хг = |хгг| перемещений по нормальным
формам. Затем, с помощью выражения (4.58) из предыдущего параграфа
полученные значения преобразуются к исходным координатам.
Для нормальной формы, соответствующей движению как абсолютно жесткого
тела, собственное значение р} равно нулю, поэтому уравнения (4.65)
принимают вид
Xri - Qn- (4.68)
В этом случае динамическое перемещение по соответствующей форме колебаний
(для системы, находящейся в покое в начальный момент времени) имеет вид
t t'
xTi = \\qridt"dt'. (4.69)
о о
Выражение (4.69) используется вместо (4.67) в том случае, когда имеется
форма движения системы как абсолютно жесткого тела.
Суммируя сказанное, отметим, что для определения динамического поведения
системы со многими степенями свободы при внешних воздействиях сначала
следует с помощью выражения (4.64) преобразовать функции, описывающие эти
воздействия, к нормальным координатам, затем с помощью интегрального
представления (4.67) определить динамические перемещения системы по
каждой форме колебаний, при этом для каждой формы, соответствующей
движению как абсолютно жесткого тела, такие динамические перемещения
системы определяются из выражения (4.69). И, наконец, с помощью обратного
преобразования (4.58) находятся значения действительных координат
перемещений. Если примененные внешние воздействия не соответствуют
координатам перемещения, то в качестве предварительного шага можно
подсчитать соответствующие эквивалентные нагрузки (см. пример 3 в конце
данного параграфа).
Прежде чем идти дальше, проанализируем влияние силы Qj = = Fj (t),
соответствующей j-й координате перемещений, на возникновение
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed