Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
После чего приходим к следующим выражениям для перемещений системы в
исходных относительных координатах:
"3t2 - 27,70/j (t) - 0,289/2 (t) - 0,020/3 (O'
Ы2 - 49,92/j (0 - 0,129/г (0 + 0,025/'з (0 , (у)
Ы2 - 62,260 (0 + 0,2320 (0 + 0,0110 (0_
где 0 (0 = m (1 - cos Pit)!k\ f2 (t) = m (1 - cos p2t)lk\ f3 (t) = m
(1 - cos p3t)/k.
Возвращаясь к подходу, использующему уравнения движения в перемещениях,
определим из выражения (4.93) вектор-столбец А* :
-FM1 О
-ait2m
tfk
'1 1 1" 1 2 2 -axt2m ¦3" 5
.1 2 3_ t[k .6.
(Ф)
Преобразуя этот вектор-столбец к нормальным координатам, найдем
г оси
х-1 Л
АН Лосн
-axt2V't
t\k
-a±t2 Yт tfk
Г 0,328 0,591
0,737 0,328
0,591 -0,737
8,363"
0,305 0,056
0,737
-0,591
0,328.
(х)
Трижды применяя интеграл Дюамеля, получим выражение (т) для перемещений в
нормальных координатах, а окончательные результаты совпадают с решениями
(у). Из приведенных результатов с очевидностью следует, что наибольший
вклад в динамическое поведение системы дает основная форма колебаний,
вторая форма колебаний дает вклад намного меньший, чем первая, а третья
форма колебаний - намного меньший, чем вторая.
Приведенные выше примеры иллюстрируют способы исследования систем, для
которых задается только один вид перемещения основания как абсолютно
жесткого тела. В более сложных задачах могут иметь место три составляющие
перемещения основания как абсолютно жесткого тела, а также три поворота
как абсолютно жесткого тела. В подобных случаях перемещение х0С11 должно
представлять собой вектор с компонентами в виде шести типов перемещений,
тогда вектор S0CH превратится в матрицу лХб. Кроме того, повороты
основания должны быть малыми, с тем чтобы оставалось справедливым
допущение о линейности характеристик системы, на котором основывается
метод нормальных форм колебаний. Единственными большими перемещениями,
допустимыми при линейных исследованиях, являются перемещения как
абсолютно жесткого тела. Задачи, которые включают рассмотрение подобных
больших динамических перемещений, необходимо исследовать с использованием
относительных координат с тем, чтобы избежать потери точности при
определении динамических перемещений системы.
284
Тогда абсолютное динамическое перемещение системы можно найти, сложив
относительное перемещение системы и перемещения основания.
Для системы, которая соединяется с основанием во многих точках, также
можно определить динамическое перемещение, рассматривая независимые
движения каждой точки соединения системы с опорами, для чего вычисляются
соответствующие коэффициенты жесткости или податливости *. В подобном
случае относительные перемещения точек соединения системы с опорой должны
быть малы по сравнению с общими линейными перемещениями. Если система с п
степенями свободы имеет г точек соединения с опорами, которые могут
двигаться независимо друг от друга, уравнение движения в усилиях (б)
можно обобщить следующим образом:
MX + SX + sonxon = 0 или MX+SX = Qon. (4.94)
где
Qon = -SonXou. (4.95)
Здесь Хоп - вектор-столбец перемещений системы в точках опор; Son -
матрица пХг жесткостей, связывающая свободные координаты"^перемещений с
перемещениями опор; Qon - вектор-столбец эквивалентных нагрузок,
обусловленных перемещениями опор.
С другой стороны, умножив уравнение (4.94) слева на матрицу F = S-1,
получим уравнение движения в перемещениях
FMX + X=Aon, (4.96)
где
Аоп = -FSonXon == DonXon. (4-97)
В данном подходе вектор-столбец Лоп имеет компоненты в виде зависящих от
времени координат свободных перемещений, обусловленных независимыми
перемещениями опор. Так же, как и в других
векторах подобного вида, его компоненты определяются из ста-
тического рассмотрения. Из выражения (4.97) видно, что эти компоненты
можно найти, умножив слева вектор Хоп на матрицу
Don = -FS0II = -S_1S0n- (4.98)
Здесь Don - матрица пХг коэффициентов влияния перемещений, представляющих
собой перемещения, выраженные в свободных координатах перемещений и
обусловленные влиянием единичных перемещений в опорах. Поскольку
выражение (4.98) представляет удобную формулу для вычисления элементов
таких матриц для сложных систем, то иногда можно вывести их
непосредственно. Приведенный ниже пример демонстрирует применение
подобного подхода к системе, в которой опоры имеют возможность совершать
независимые движения.
Пример 3. Вновь возвращаясь к системе, показанной на рис. 4.2, а,
предположим, что опоры А а В могут перемещаться независимо друг от друга
в напра-
* Weaver W., Jr. Dynamics of discrete-parameter structures. Development
in Theoret. and Appl. Mech. v. 2. New-York; Pergamon Press, 1965, pp.
629-651.
285
влении, параллельном оси х. Пусть через хот и х0П2 обозначены малые
перемещения точек соответственно А и В. Определить установившееся
поведение системы, когда одна из опор движется по закону х0П2= d sin соt,
а другая неподвижна, т. е. •*oni = 0- Как и ранее, принимаем, что т1~ т2
= т3= т и 1г= /2 =" /3 = /4 = /, поэтому можно использовать найденные
