Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
где
Soch = -SI. (Д)
Через Soch обозначен вектор-столбец коэффициентов влияния жесткости,
которые представляют собой соответствующие свободным координатам
перемещения * дополнительные усилия, возникающие при задании единичного
перемещения хосп. Подобные дополнительные усилия можно определить
непосредственно из рассмотрения статического состояния системы при
заданном перемещении основания хоси = 1, но в данном случае их можно
вычислить с помощью выражения (д), из которого видно, что дополнительные
усилия равны суммам элементов строк матрицы S, взятым со знаком минус.
* Чтобы в данном параграфе избежать двусмысленности в используемой
терминологии, здесь применяется термин "свободные координаты перемещения"
в^от-личие от координат перемещения, соответствующих свободному и
"навязанному" движениям. Последний тип рассматривается как стесненное или
связанное движение.
279
Представим уравнение (г) в форме (4.61), перенеся произведение S0Chjc0CH
в правую часть уравнения и оставив без изменения знак. Тогда получим
MX + SX=Q0CH, (4.80)
где
Qoch == §ociAjch == S 1л"осн. (4.81)
Компонентами вектора Q0CH являются эквивалентные нагрузки,
соответствующие свободным координатам перемещений, возникающих при
движениях основания. Подобные эквивалентные нагрузки можно преобразовать
к нормальным координатам, применив ту же процедуру, что и в случае
действительных нагрузок. Тогда с учетом выражения (4.64) можно записать
Qr оси = XhQocii- (4.82)
Записанное в нормальных координатах t'-e уравнение движения примет вид
*г; + /?1*тт==<7госно f=l, 2, 3, . .., п, (4.83)
где qr осн i - эквивалентное усилие в i-и нормальной координате,
обусловленное движениями основания.
Для того чтобы определить перемещения, соответствующие ?-й форме
колебаний, воспользуемся интегралом
t
хп = (11 Pi) J Я г оси i sin Pi (t - t') dt'. (4.84)
о
Это выражение будет иметь ту же форму, что и (4.67), если в последнем
выражении заменить qri на дГосн г- Значения перемещений, определяемые с
помощью выражения (4.84), можно, как это делалось выше, преобразовать к
исходным координатам, используя соотношение X = ХНХГ.
Если вместо перемещения основания хосн задается ускорение хосн
основания системы, показанной на рис. 4.1, а, следует
перейти к новым координатам, описывающим относительное движение согласно
выражению (в). Ускорения, соответствующие перемещениям X*:
X* = X - 1 Хосн- (е)
Подставляя выражение (е) для X в уравнение (б), получим уравнение
движения в относительных координатах
MX* -f- SX* = Q*CH, (4.85)
где
QJch = -Ml x0CH. (4.86)
280
Поскольку для системы, показанной на рис. 4.1, а, матрица масс является
диагональной, в этом частном случае матрица-столбец
-т,х,
Q
•оси -----
(ж)
Таким образом, эквивалентные нагрузки, соответствующие относительным
свободным координатам перемещения, равны взятым со знаком минус
произведениям масс на ускорение хосн основания. Определив эти
эквивалентные усилия, можно найти перемещение системы относительно
основания, если взять вместо вектора Q0CH вектор Q*. Поскольку матрицы
коэффициентов в уравнениях (4.85) и (4.80) одинаковые, ту же матрицу
преобразования Хн можно использовать для перехода от относительных
координат к нормальным.
Если вместо уравнений движения в усилиях взять уравнения движения в
перемещениях, влияние перемещения основания (см. рис. 4.1, а) в уравнении
движения можно учесть следующим образом:
причем то же самое уравнение можно получить из уравнения (б), умножив его
слева на матрицу-столбец F = S"1. Представляя это уравнение в той же
форме, что и уравнение (4.71) предыдущего параграфа, получим
Компонентами вектора-столбца Лосн являются зависящие от времени и
обусловленные движениями основания свободные координаты перемещения,
которые можно определить из статического рассмотрения. Разумеется, в
данном случае каждая компонента этого вектора попросту равна перемещению
хосн. Преобразуя свободные координаты перемещений к нормальным
координатам с помощью приведенной выше процедуры (4.73), получаем
В этом случае t'-e уравнение движения в нормальных координатах [см.
уравнение (4.74)] принимает вид
где бГоснг - зависящее от времени перемещение t'-й нормальной координаты,
обусловленное движениями основания.
Для того чтобы определить перемещения, соответствующее i-й форме
колебаний, воспользуемся второй формой представления интеграла Дюамеля
FMX + X - 1*осн = 0,
(з)
где
FMX -)- X - А0Сн>
^ОСН ---- 1
(4.87)
(4.88)
(4.89)
"Ь xVi - ^госнг, 1-1, 2, 3, . . ., п, (4.90)
(4.91)
о
281
где бГосн; заменяется на 6Гг Последовательно используя выражение (4.91),
преобразуем полученные результаты к исходным координатам обычным
способом.
Если вместо перемещения хосн известно ускорение хосн основания, уравнение
движения в перемещениях, записанное через относительные координаты
перемещений, принимает вид
FMX'-f X* = FQ*C", (4.92)
который получается при умножении слева уравнения (4.85) на
матрицу F = S~\ В этом случае из выражения (4.86)
