Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Vn(i,X) = -sVn(i,X) + 2iS0, S0 = S0' а, (2.59)
в которых переменные Sn заменены на ф", ф" согласно форму-
лам (2.42). Поучительно посмотреть на связь этих матриц с таковыми для
модели НШ.
Рассмотрим вспомогательную линейную задачу для модели РМГ
Fn+l = Ln(X)Fn, (2.60)
->
подставим в матрицу Ьп{Х) выражения (2.42) для Sn, заменим X на 2g/X
и положим
мч=<й(?)Ч^). (2.6D
Для вектора Gn(X) из (2.60) получаем уравнение
Gn+i = Ln(X)Gn, (2.62)
§ 2. ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ НА РЕШЕТКЕ 273
Из последней формулы ясно, что матрица Ln(X) получается ид "."(Я)
посредством замены спектрального параметра и решеточного аналога
калибровочного преобразования. Это преобразование, в частности,
компенсирует альтернирование знака и (2.51). Вспомогательная линейная
задача (2.62) после замены (2.56) и Х^А-Х очевидно переходит во
вспомогательную линейную задачу для модели НШ
= ( *?". + ух ( 0 ? (-г)'Л q (2,64)*
dx \ 2i 1 Uw 0 у/ v
в непрерывном пределе Д->0.
Аналогичным образом рассматривается непрерывный предел как в уравнении по
t с матрицей Vn(t, X), так и для скобок Пуассона; в гамильтониане Hieg
следует ограничиться двумя первыми членами разложения Тейлора функции
1п(1+л:) при х=0. В результате получим, что
Нтеи = А2
^ ' + х|ф|'|Дг + 0(А3). (2.65)
Аналогичным образом можно рассмотреть и модель РИНВ при g>0. Она связана
с моделью магнетика для группы SC/(1, 1), в которой аналогом сферы S2
является половина (например, верхняя пола) двуполостного гиперболоида -
модель, плоскости Лобачевского.
Другой пример разностной аппроксимации к модели НШ дает
5. Модель РНШ2. Уравнения движения модели имеют вид d\ь"
i -- = 2ф"- фп_! _фя+1 + х ф" |2 (фп_1 + фп+1) (2.66)
at
и в непрерывном пределе
х=пА, фп^Дф(х) (2.67)
очевидно переходят в уравнения движения модели НШ после замены t]-*Az-t.
Фазовое пространство модели образовано функциями ф", ф,г с определенными
граничными условиями (например, периодическими или быстроубывающими).
Пуассонова структура задается скобками Пуассона
{Фл, Фт} = {фп, Фт} = о, (2.68)
{Фп, Фт} = i (1 - X | Ф" |2) Ьпт, и гамильтониан модели имеет вид
н = 2 (- Фп (Ф/н-1 + Фя-j) - - In (1 - X I ф" I2)), (2.69>
И
274
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ II ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
где суммирование ведется в соответствии с граничными условиями. При х>0
предполагается, что меняются внутри
круга
|i|in|2^l/x.
Скобки Пуассона - {,} и гамильтониан - Я при А->-0 пе-
J д J д3 F
реходят в соответствующие выражения для модели НШ.
Симплектическая форма на С. порожденная скобками Пу-
.ассона (2.68), имеет вид
<й = - dz A dz- (2.70)
i 1 - У. I 2 |2
и отличается как от канонической формы (2.48), так и от
формы (2.47), порожденной .формой площади на S2. Однако в
тео-
рии представлений групп SU{2) и SO(l,l) встречаются формы
dzAdz 1 = 0, 1/2, 1,. . ., (2.71)
заданные на сфере S2 при -/<0 или на плоскости Лобачевского при х>0.
Форма со получается из со(, если положить формально ./ = - 1/2.
Модель РНШ2 допускает представление нулевой кривизны с матрицами Ln(t, Я)
и У"(/, Я) вида
L"(X)=( (2.72)
V/'^я я 1 J
( 1 + x'MVi - я2 Vу. (у- Уп-1 - яуп)
Vn (Я) = i
(2.73)
Заменяя / иа A2-t и Я на е~ЛА'2, в непрерывном пределе отсюда получаем
представление нулевой кривизны модели НШ.
Сравнивая уравнения движения (2.53) - (2.55) и (2.66) моделей РНШ, и
РНШ2, мы должны в отношении внешней простоты отдать преимущество второй
модели. Одиако неочевидная симметрия модели РНШ,, связанная с действием
группы 0(3) в ее фазовом пространстве, которое получается переносом
естественного действия группы 0(3) в фазовом пространстве модели РМГ,
показывает, что эта модель также естественна и интересна. В гл. III мы
убедимся, что с гамильтоновой точки зрения она '<5лиже к непрерывной
модели НШ.
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
275'
§ 3. Представление нулевой кривизны как способ построения интегрируемых
уравнений
В предыдущих параграфах мы привели обширный список примеров интегрируемых
уравнений. После этого естественно' возникает вопрос: как по заданному
нелинейному эволюционному уравнению узнать, существует ли для него
представление нулевой кривизны. К сожалению, ответа на этот вопрос нет и
вряд ли он когда-нибудь появится в общем виде. Более реалистический
подход состоит в разработке принципов классификации интегрируемых
уравнений. Представление нулевой кривизны, которое является общим
свойством всех рассмотренных до> сих пор примеров, можно положить в
основу общей классификационной схемы. Здесь мы даднм ее описание для
случая непрерывных моделей. В гл. IV мы приведем более элегантную
гамильтонову интерпретацию этой схемы, основанную на ли-алге--браических
соображениях.
Характерным свойством рассмотренных в § 1 примеров непрерывных моделей
(исключая модель Л - Л) являются рациональная зависимость матриц U (х, t,
X) и V (х, t, к) от спектрального параметра X. Такие матрицы
представляются в виде разложения на простые дроби:
где коэффициенты UKs(x, t), Us(x, t) и V,,s(x, t), Vs(x, t) суть матрицы
