Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
формулы (10.20) на наш бесконечномерный случай.
20) Задача описания алгебры наблюдаемых и топологии фазового
пространства Лр,б в координатах р(А), <p(A), pj, qj еще сложнее,
чем в быстро-
убывающем случае, и в литературе не рассматривалась.
21) Интерпретация ветвей спектра возбуждений для случая конечной
плотности впервые была предложена в работе [3.281. Использованный нами
сдвиг импульса Рг->-Рр = Р-р20 также был введен в этой работе.
Часть II
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ
Метод обратной задачи, сформулированный в части I на примере модели НШ,
не заслуживал бы особого внимания, если бы он не имел других приложений.
Однако, как хорошо известно, модель НШ отнюдь не исключительна и
приложения метода обратной задачи многочисленны и все еще не исчерпаны до
конца.
В этой части мы опишем еще несколько характерных примеров, что позволит к
концу книги дать общий взгляд на область применимости метода.
Естественно, что разбор этих моделей будет значительно менее детальным,
так как основные понятия н приемы метода обратной задачи уже были введены
и отработаны на примере модели НШ.
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
В настоящей главе мы приведем список характерных примеров и их общие
свойства: представление нулевой кривизны н гамильтонову формулировку.
Абстрагируясь от этих примеров, мы сформулируем общую схему построения
интегрируемых уравнений и их решений, основанную на матричной задаче
Римана. Подробному исследованию наиболее важных моделей и гамильтоновой
интерпретации общей схемы будут посвящены следующие главы.
Рассматриваемые примеры можно разбить на два класса: динамические
системы, порожденные эволюционными уравнениями в частных производных
(непрерывные модели), и эволюционные системы разностного типа (модели на
решетке).
§ 1. Формулировка основных непрерывных моделей
Приступим непосредственно к описанию примеров, приводя соответствующие
фазовые пространства (набор динамических переменных), уравнения движения
и их запись в виде условий нулевой кривизны.
1. Модель непрерывного изотропного магнетика Гейзенберга (модель МГ).
Фазовое пространство модели образовано вектор-
функциями S (х) = (S i(x), S2(x), S3(x)), принимающими значе-
254 Г Л. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ и их общие свойства
ния на единичной сфере S2 в К3:
s"(*)=2 s2(*) = i (i.i)
и удовлетворяющими определенным граничным условиям (см. ниже). Уравнения
движения имеют вид
H = S Л-, (1.2)
dt дх* К '
где Д означает внешнее (векторное) произведение в [R3. Очевидно, что это
уравнение сохраняет ограничение (1.1). Модель
является О (З)-инвариантной: если S (х, t)-решение уравнений движения, a
R- произвольная, не зависящая от г и t ортогональная матрица в R3, то
RS(x, t) -тоже решение.
Типичными граничными условиями являются:
а) Периодические граничные условия:
S(jc + 2?.) = S(jc). (1.3)
б) Быстроубывающие граничные условия:
lirn S (x) = S0, (1.4)
где в силу 0(3)-инвариантности постоянный вектор S0 без ограничения
общности можно выбрать в виде
S0 = (О, О, 1). (1.5)
При этом считается, что предельные значения принимаются достаточно
быстро, например, в смысле Шварца.
Более общими граничными условиями являются условия квазипериодичности:
S{x + 2L)=RS{x), (1.6)
где фиксированная матрица R принадлежит группе 0(3), и их предел при L->-
оо (аналог условий конечной плотности). Однако ниже мы не будем их
рассматривать.
Введенная модель встречается в физике твердого тела и описывает
классический спин S, распределенный на линии,- одномерный непрерывный
магнетик.
Пуассонова структура на фазовом пространстве задается скобками Пуассона
{S.OO, Sb(y)}=-EabcSc(x)d(x-y), (1.7)
§ 1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ МОДЕЛЕЙ
255
где Sa, а= 1, 2, 3,- компоненты вектора S, а есЬс-полностью
антисимметричный тензор ранга 3, е123=1. С точки зрения теории групп Ли,
скобки Пуассона (1.7) представляют собой реализацию общей скобки Ли -
Пуассона, ассоциированной с группой токов - группой матриц-функций g(x)
со значениями в 0(3), суженную на симплектическую орбиту, задаваемую
условием (1.1). Впрочем, используя ограничение (1.1), невырожденность
этой пуассоновой структуры можно проверить и непосредственно, без ссылок
на общую теорию.
Уравнение МГ записывается в гамильтоновом виде
1(55*
- = {/7, S), (1.8)
dt
где
н=Н(1)^ (L9)
а интегрирование ведется по фундаментальной области для граничных условий
а) или по всей вещественной оси для случая б).
Другими интересными с физической точки зрения интегралами движения
являются импульс - генератор сдвига по х
3S.2 ds.
Si ~~ - S2 --
dx-dx (1.10)
1 + 53
и полный спин для периодических граничных условий
_ L
M=^S(x)dx. (1.11)
-L
Компоненты Ма полного спина задают гамильтоново действие алгебры Ли
группы 0(3), и их скобки Пуассона имеют вид
{Ма, Мь}=-гаъ№с (1.12)
(сравни с (1.7)).
В быстроубывающем случае в качестве наблюдаемой остается только
регуляризованная третья компонента спина
со
