Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
линейной задачи.
После этого общего введения перейдем к перечислению основных примеров.
Наиболее популярным примером, имеющим многочисле'нные приложения,
является
1. Модель Тода. Уравнения движения имеют вид
= __gQn-Qn-1 (2 4)
dfl
где qn- набор вещественных переменных, имеющих смысл координат
классических частиц с одной степенью свободы. Типичные граничные условия
выглядят следующим образом.
а) Условия свободных концов: 1^п^У,
<7о=- qx+i= + °°. (2.5)
б) Квазипериодические граничные условия
qn+N=qn + c, (2.6)
где с - произвольная вещественная константа, не зависящая
от /.
в) Быстроубывающие граничные условия
lira qn = 0, lira qn = c, (2.7)
п-*-00 П-'+ОО
где предельные значения принимаются достаточно быстро.
На самом деле условия в) являются скорее аналогами условий
конечной плотности для модели НШ (см. § I.I части I).
Однако мы их называем быстроубывающими, так как разности Qn-qn-i,
входящие в уравнения движения, быстро убывают при | п | ->-оо.
Наибольший интерес для нас будут представлять граничные условия б) и в).
Уравнения движения модели Тода являются уравнениями Ньютона
*±=-"L (2.8)
Для системы N одномерных частиц с потенциалом
^ (?) - 2 (сп~Чп~г - 1), (2.9)
где суммирование ведется в соответствии с граничными условиями (т. е.
возможен и случай N = оо). Тем самым они являются
266
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
гамильтоновыми уравнениями с гамильтонианом
H = ^\pl + V{q) (2-10)
П ^
на обычном фазовом пространстве с координатами рп, qn и пуассоновой
структурой
{pni Рт\ {?п( tfm} 0" {Pm Qm} 6nm. (2.11)
Уравнения движения модели Тода допускают представление нулевой кривизны
(2.1) - (2.2) с матрицами Ln(t, к) и Vn(t, к) следующего вида:
Ln (к) = (р* + , Vn(k) = (° ~ еЧП) . (2.12)
e~Qn 0 ) \е Цпк
Подробному обсуждению этого важного примера мы посвятим главу III.
2. Модель Вольтерра. Фазовое пространство модели образовано
положительными переменными ип. Уравнения движения имеют вид
={ип+х - "л-l) Un (2-13)
at
и впервые появились при описании эволюции популяций в иерархической
системе конкурирующих особей. Они имеют и другие приложения. Типичными
граничными условиями являются периодические
un+N = un (2.14)
или быстроубывающие
lira ип= 1. (2.15)
\п\--*ао
Уравнения движения (2.13) представляются в гамильтоновом виде
^~ = {Н,ип} (2.16)
at
с гамильтонианом
я = 2 1пыя, (2.17)
П
где суммирование ведется в соответствии с граничными условиями, и
пуассоновой структурой, задаваемой скобками Пуассона
{Un, Uni} - UnUtn $n,m-l) ^ " 2j -j-
(2.18)
1 1
H $n,m+2Un-i-------§n,m~i.Um- i
2 2
§ 2. ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ НА РЕШЕТКЕ 267
Отметим, что формула (2.18) имеет гораздо менее привычный вид, чем,
скажем, (2.11). Однако она действительно задает скобку Пуассона; проверка
тождества Якоби для нее элементарна, хотя и громоздка.
Уравнения движения (2.13) представляются в виде условия нулевой кривизны
с матрицами Ln(t, X) и V"(t, X):
/ X и"\ / Хи" \
МЬ)=[ Ь Vn(X) = п " . (2.19)
\-1 о / 7 -У" + "n-i/
Эта модель в дальнейшем рассматриваться ие будет, и мы привели ее лишь
как поучительный пример с иитересиой пуассоновой структурой.
3. Модель изотропного магнетика Гейзенберга на решетке
(модель РМГ). В этом примере спиновые переменные S" =
= (S^, Sn, Si), Si =s2, заданы на одномерной решетке
(цепоч-
ке). Такая модель более естественна с физической точки зре-
->
ния, чем непрерывная модель из § 1. Переменные Sn с периодическими
Sn?N=Sn (2.20)
или быстроубывающими
Нш Sn sS0 m пп
И-"" (2.21)
граничными условиями образуют фазовое пространство модели с пуассоновой
структурой, задаваемой скобками Пуассона
{Si,Si,} = -e^mSi, (2.22)
a, b, с= 1, 2, 3 (сравни с (1.7)). Интегрируемой модели соответствует
гамильтониан
Н = - 2 S 1п ("2+ 25^) ' (2-23)
приводящий к уравнениям движения
^ 2S" Д I - . (2.24)
dt Vs* + sn ¦ -Vi
Последние допускают представление нулевой кривизны с матрицами Ln(t, X) и
Vn(t, X) вида
Т"(Я) = /+ -S", (2.25)
21
268
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
где
= ctn (1 ± -j-j (1 ± ) , (2.27)
сея =--------^-- , Sn = Sn ¦ а = ^ Sanoa. (2.28)
s2 + Sn~ 1 ' Sn а=1
Действительно, правая часть условия нулевой кривизны
= Vn+1 (к) Ln (к) - Ln (X) Vn (к) (2.29)
at
после деления на множитель /./(27) представляет собой рациональную
функцию с простыми полюсами в точках k = ±2i/s. Вычеты в этих полюсах
исчезают в силу специального выбора
матриц . Постоянный член (значение при Я = оо) после использования явного
выражения для коэффициента а" и элементарного соотношения
SnSn+i = Sn ¦ Sn+1 -f- i (Sn /\ Sn+1) -a (2.30)
превращается в правую часть уравнения (2.24).
Отметим, что вспомогательная линейная задача
Fn+1 = Ln(k)Fn = Fn + ~SnFn (2.31)
2/
является наивной разностной аппроксимацией вспомогательной линейной
задачи для непрерывной модели МГ. Этого, однако, нельзя сказать о
гамильтониане и уравнении по 1 в представлении нулевой кривизны. Тем ие
менее такое усложнение оправдано. Действительно, во-первых, наивный
