Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 91

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 180 >> Следующая

во вспомогательном пространстве Сп.
Рассмотрим теперь условие нулевой кривизны
произведем в нем разложение на простые дроби и приравняем нулю
коэффициенты при всех полюсах. В результате для матриц Uh_s, U s и мы
получим систему нелинейных дифференци-
альных уравнений (и, вообще говоря, алгебраических уравнений). По
построению эта система допускает представление нулевой кривизны
и
ч
(3.3):
?L = U(x,t,X) F, дх
(3.4)-
-?L = V(x,t,X) F,
dt
(3.5)i
-276
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
где уравнение (3.4) играет роль вспомогательной линейной задачи. Этим
заканчивается общее описание общих систем нелинейных уравнений,
ассоциированных с условием нулевой кривизны.
Подсчитаем количество неизвестных функций в системе (3.3), Пусть число
полюсов матриц-функций U(х, /, X) и V{х, t, X) с учетом их кратностей
равно Л\ и N2 соответственно; тогда мы имеем Nt + N2 + 2 матричных
параметров Uh s, Us и V', s, Vs. Система (3.3) содержит ЛС + ЛС+1
уравнение, так как на постоянные члены Uо и V0 в разложениях (3.1) -
(3.2) возникает всего лишь одно уравнение
~~~ ~~ [f/0i ^ oi= о. (3.6)
dt дх
Таким образом, число матричных неизвестных на 1 больше числа уравнений.
Эта недоопределенность системы (З.-З) связана с калибровочным произволом
в выборе матриц U(х, t, X) и
V(x, t, а):
U ^Ua = - Q'1 + QUQ-1, (3.7)
дх
у V'° = - Q-i + СМГ1, (3.8)
dt
¦где матрица Q(x, /) не зависит от X. Это преобразование не меняет
систему (3.3) и структуру полюсов (дивизор) функций U {х, t, X) и V(x, t,
Я) по переменной X. Используя калибровочное преобразование, можно
фиксировать один из матричных параметров, например, матрицу U0(x, t);
тогда число неизвестных в системе (3.3) совпадет с числом уравнений.
Конкретный выбор калибровочного преобразования, фиксирующего вид матриц
U(х, t, X) и V{x, t, X), и последующая параметризация их матричных
элементов может привести к различным по записи уравнениям, которые, по
существу, являются эквивалентными. Такие уравнения называются
калибровочно эквивалентными. В следующем параграфе мы приведем интересный
пример - покажем, что уравнения НШ в случае х = - 1 и МГ являются
калибровочно эквивалентными.
Описанные только что уравнения, порождаемые системой
(3.3), часто называют интегрируемыми, и мы, следуя этой традиции, ввели
этот термин в заглавие параграфа. Однако следует подчеркнуть, что
доказательство полной интегрируемости в смысле гамильтоновой механики
каждого конкретного уравнения ¦является нетривиальной задачей динамики.
Часть I, посвященная модели НШ, является примером такого исследования.
Тем не менее представление нулевой кривизны является важным начальным
этапом в рассмотрении каждого конкретного уравнения. Поэтому уравнения,
допускающие такое представление, будем называть интегрируемыми в
кинематическом смысле.
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
277
Интегрируемые в кинематическом смысле уравнения, порождаемые описанной
выше схемой, имеют весьма обший вид. Как правило, для содержательных
приложений необходимо уменьшить число неизвестных функций. Так конкретные
уравнения из § 1 получаются из общей системы вида (3.3) в результате
редукций- наложения связей на матричные элементы матриц U(x, t, Я) и V(х,
t, Я), совместных с этой системой. Другими словами, вопрос о редукциях
сводится к описанию инвариантных подмногообразий системы (3.3).
Уравнения (3.3) содержат коммутаторы, и поэтому очевидной является
редукция, задаваемая условием, согласно которому матрицы U(х, t, Л) и
V{x, t, Я) принадлежат произвольному представлению заданной алгебры Ли.
Существуют и более нетривиальные редукции, и полное их описание
представляет важную задачу классификации интегрируемых уравнений.
Гамильтонова интерпретация представления нулевой кривизны в гл. IV
приведет нас к весьма содержательным примерам редукций.
Для иллюстрации возможных редуцированных форм матриц U(х, t, Я) и V{х, t,
Я) опишем еще ряд примеров эволюционных уравнений, допускающих
представление нулевой кривизны и имеющих интересные приложения. Заодно мы
приведем их гамильтонову формулировку. Исторически первой моделью, на
которой был отработан метод обратной задачи, является
1. Уравнение Кортевега - де Фриза (модель КдФ)
где и(х, i)-вещественнозначная функция. Матрицы U(х, t. Я) и V{x, i, Я)
из представления нулевой кривизны для этого уравнения имеют вид
Более традиционно записывать вспомогательную линейную задачу
(ЗЛО)
и
(3.11)
^- = ?/(*,Я)К
dr
(3.12)
для уравнения КдФ как одномерное уравнение Шредингера
-JpL + u(x)y=--Ey, Е=^-. (3.13)
dx2 4
278 гл. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Связь уравнений (3.12) и (3.13) осуществляется посредством формулы
У \ (3-14)
dy а к '
F
dx
Здесь уместно сравнить вспомогательные линейные задачи (3.12) и (1.2.22)
из части I для моделей КдФ и НШ.
Из этого сравнения ясно, что модель НШ является примером: "общего
положения" в своем классе (вспомогательное пространство С2 и алгебра Ли
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed