Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 96

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 180 >> Следующая

исчезают.
Вместо левых токов /" с равным основанием можно было бы использовать
правые токи поля g
r0 = - g~1~, ri = - g 1 -j- ¦ (5-20)
dt dx
-l dg _ _ -i dg
' 0 5
Очевидно, что
C=- ёГЧД, ,'i = 0, 1, (5.21)
и из формулы (5.18) получаем
{g (х), Го (у)} = g (х) f б (х - у), (5.22)
где мы ввели разложение
г11 = л"Л р, = 0, 1. (5.23)
292 гл. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ и их общие свойства
Отсюда заключаем, что скобки Пуассона правых токов имеют вид
{гао(х),гь0(у)} = - рЬсгс0(х)Ь(х - у), (5.24)
{rao (X), Л (у)} = - ГЬсгСг (х) 6 (х - у) - 6a'6' (X - у), (5.25)
{гаЛх),А(у)} = 0. (5.26)
Наконец, из (5.15) - (5.19) и (5.21) получаем скобки Пуассона левых и
правых токов:
к (х), й т=к (х), А т=о, (5.27)
К (*), П (У)} =~ta (У) б' (X - у), (5.28)
{*? (х), г0 (у)} = (х), г1 (х)] 6(х - у) +7а (у) 6' (х - у) =
= ta(x)b'(х-у), (5.29)
где мы положили /Дх) =g-1 (x)iag(x).
До сих пор мы не обсуждали граничных условий, так что приведенные
выкладки носили формальный характер. Существует несколько способов
введения граничных условий: их можно накладывать как на переменные g(x),
/,Дх), так и на токи 10(х), /Дх) или r0(x), r,(x). Для определенности мы
будем параметризовать фазовое пространство в терминах левых токов и
наложим на них периодические граничные условия
l]1(x+2L) = /Дх), р = 0, 1. (5.30)
Интегрирование в выражениях (5.8) для действия и (5.13) для гамильтониана
ведется по фундаментальной области -Ljctx^L.
Пуассонова структура (5.15) - (5.17) на фазовом пространстве является
вырожденной. Действительно, матрица монодромии U связности /Дх)
U = g(L, - L) = exp^ l1(x)dx (5.31)
-L
находится в инволюции со всеми образующими /^ (х). Чтобы убедиться в
этом, вычислим формально скобку Пуассона между функциями /о (у) и
матрицей g{x, -L), где использовано обозначение
Х
g(x,y) = expSjl1(x')dx' (5.32)
У
(сравни с определением матрицы перехода в части I). Эта матрица
удовлетворяет дифференциальным уравнениям
= = (5.33)
дх ду
§ 5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА КИРАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
293
Имеем теперь, считая, что -L<iy<iL, и используя (5.16) и (5.33):
{g (х, - L), f0 (у)} g(x, г) {1г (г), 1а0 (у)) g (z, - L)dz =
-L
= 5 g(x, г) (Ui (г), f] 6 {у - z) + "V (у - г)) g (г, - L)dz =
= - fg(x, - L)b{x - y), (5.34)
где при выводе последнего соотношения мы воспользовались интегрированием
по частям. Подчеркнем, что полученная формула совпадает со скобкой
Пуассона (5.18) после замены g(.v') на g(x, -L).
Полагая в (5.34) x=L, получаем, что функции 1°(у) находятся в инволюции с
матрицей монодромии U. Для функций 1°(у) это очевидно из (5.17).
Используем теперь матрицу g(x, -L) для построения аналогов правых токов
rtl = - g~1lllg, и = 0, 1. (5.35)
Их скобки Пуассона с левыми токами /" имеют тот же вид, что и формулы
(5.27) - (5.29) с заменой на f". Поэтому величины
~ L ~
К0 = J /¦?(*)?&, (5.36)
-L
так же как и матричные элементы матрицы U, находятся в инволюции со всеми
функциями 1\х(х).
Однако приведенные вычисления были формальными и для описания
функционалов, порождающих аннулятор пуассоновой структуры, необходимо
выделить допустимые функционалы, совместные с граничными условиями
(5.30). Для функционалов от матрицы монодромии U таковыми являются лишь
инварианты присоединенного действия группы G, т. е. инварианты
преобразований U'->-aUa~\ для всех а из G. (Сравни с выделением
допустимых функционалов в § III.2 части I.) Для функционалов от г0(х)
условия допустимости выглядят более сложно и состоят в том, что их
плотности должны быть периодическими функциями переменной х, а сами они
не должны меняться при замене g(x, -L)*->-g(x, -L)C, где С - произвольная
постоянная матрица. Можно показать в ситуации общего положения (когда все
собственные значения матрицы U различны), что число функционалов,
порождающих аннулятор нашей пуассоновой структуры, совпадает с удвоенной
размерностью картановской подалгебры в д. Этим заканчивается описание
фазового пространства в терминах левых токов /Дх).
294
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Рассмотрим теперь параметризацию переменными g(x) и
/"(*). В случае периодических граничных условий
g(x + 2L)=g(x) (5.37)
пуассонова структура, задаваемая скобками Пуассона (5.15) и
(5.18) - (5.19), является невырожденной. В терминах 1,(х) условие
(5.37) приобретает вид
U = I, (5.38)
так что, в частности, все величины Ra являются допустимыми функционалами
на фазовом пространстве переменных g(x) и
10(х). Это и не удивительно, так как в рассматриваемом фазовом
пространстве модель главного кирального поля является GXG-инвариантной.
Действие группы GXG в фазовом пространстве является гамильтоновым и
задается генераторами
L L
= (х) dx, ^=\га0 (х) dx (5.39)
-L
со скобками Пуассона
-L
{La,Lb\= - fcLc, (5.40)
{R°, Rb} = - fabcRc, (5.41)
{La, Rb} - 0. (5.42)
В этом случае существует инволюция g^g~\ переводящая левые токи в правые.
Переход от первой параметризации фазового пространства ко второй можно
осуществить, при выполнении условия (5.38), с помощью интегрирования
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed