Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Выберем унитарную матрицу Q(x,t)> удовлетворяющую совместной системе
уравнений
Рассмотрим калибровочное преобразование, задаваемое матрицей Q-1 (х, 0:
где
^нш (к) = -тт" + Uо, U0 = i (То+ + 4'<0>
21
Uьлт (к) - ~S,
2i
(4.1)
(4.2)
3
S = 5* = s, S2 = /
(4.3)
и
Унш (к) = -^- о3 - kU0 + У0,
(4.4)
(4.5)
(4.6)
f- = U0(x,f)Q,
дх
^- = V0(x,t)Q.
at
(4.8)
(4.7)
f/йш (/.) = - ГГ1 + Q-Whiu (к) Q,
дх
Унш (к) = -Q-^ + Q-Шнш (к) Q,
at
(4.9)
(4.10)
Из формул (4.1) и (4.7) получаем
S = UMr(k),
2i
(4.11)
§ 4. КАЛИБРОВОЧНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МОДЕЛЕЙ НШ и МГ 285'
где матрица S(x, t) дается выражением
S(x, t)=Q~l(x, t)o3Q(x, t) (4.12)
и, очевидно, удовлетворяет условиям (4.3).
Аналогичным образом получаем, что
v?m (*) = - (4.13).
2 дх
5 1_оО_
дх
(4.14)
Преобразуем это выражение. Из (4.12) имеем
dS дх
а из дифференциального уравнения (4.7) следует, что
QT1 - = Q-1U0Q. (4.15)
дх
В силу антикоммутативности матриц а3 и U0(x, t) отсюда получаем, что
матрицы S и также антикоммутируют. Поэтому
окончательно имеем
Q-1 - = - S- =------------------------------L-^-5 (4.16)
И дх 2 дх 2 дх
= - S + ^^S = VMF(M. (4.17):
2 2 дх
Таким образом, построенная по решению уравнения НШ ф(х, t) матрица S(x,
t) удовлетворяет уравнению МГ.
Приведенные формулы позволяют выразить плотности локальных интегралов
движения модели НШ в терминах S(x, г), получив тем самым плотности
интегралов движения модели МГ. Так, например, переписывая (4.14) в виде
- =2?ГЧт8ад (4.18>
дх
получаем
т(#)=т'г(д7)' = -'ги"=2!№ (4Л9)
так что плотность гамильтониана модели МГ совпадает с удвоенной
плотностью заряда (числа частиц) модели НШ.
Аналогичным образом легко получить выражение для плотности импульса
модели НШ:
1 /;7 ,ь \ _ 1 ь. ~ п ди"
-286
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
•Сравнивая формулы (4.19) и (4.20), получаем, что
Ниже мы приведем простое дифференциально-геометрическое соображение, из
которого следует, что правая часть в (4.21) (с точностью до полной
производной) представляет собой плотность импульса модели МГ.
Приведенные выше преобразования от модели НШ к модели МГ по существу
носили обратимый характер. Однако явное построение калибровочного
преобразования от модели МГ к модели НШ, т. е. определение матрицы Q(x,
t) по заданной матрице S(x, t), требует пояснений.
Именно, рассмотрим матрицу S(x), удовлетворяющую условиям (4.3), и
приведем ее к диагональному виду
}шитарным преобразованием О(х). Это уравнение определяет матрицу Q(x) с
точностью до умножения слева на диагональную унитарную матрицу. Выбором
последней можно обеспечить условие антикоммутацин
из которого следует, что антиэрмитова матрица -- О-1 имеет
дх
нулевую диагональную часть. Поэтому положим
вводя функции ф(х), ф(х) по заданной матрице S(x). Отсюда получаем
До сих пор мы не предполагали, что матрица S является решением уравнений
движения, и определили отображение F: S (*)>-*-^ (тф(х), ф(*)) при
фиксированном t.
Предположим теперь, что S(x, t) удовлетворяет уравнению .МГ. Тогда
связность (и%-(х, t, Х), Г^г (х, t, А,)) имеет нулевую
5(x)=0-1(x)a30(x)
(4.22)
за
дх
Q-1 + -Q~1(J3r=0, дх 3
(4.23)
(4.24)
&мг (к) - --- Q 1 + QUy\r (>^) О 1 - -5- + U0 (х) - Unm (^)-
дх 2i
(4.25)
§ 4. КАЛИБРОВОЧНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МОДЕЛЕЙ НШ И МГ 287
кривизну
_ ДдП + [f/?r> у?г] = о, (4.26)
dt дх
где благодаря уже известным свойствам матрицы У(х, t) мат-рицу
V'mf (V = ^- У1 + У Умг (л) У1 (4-27)
dt
можно привести к виду
VJ^rW=-^a3-7t/0 + ^-Q-1. (4.28)
2 dt
Выразим матрицу -^-У-1 через функции ф(х, t), Ф(а, t), исполь-
dt
зуя условие нулевой кривизны (4.26). Последнее представляет собой полином
по к третьей степени. Коэффициенты при к3 и л2 исчезают тождественно;
исчезновение коэффициента при к приводит к соотношению
-^-У_1 = - а3 + ic(x,t)o3, (4.29)
dt i дх
где с(х, t)-вещественнозначная функция. Диагональная часть постоянного
члена в (4.26) приводит к уравнению
(с- |ФГ-) = 0. (4.30)
дх
В результате матрица У представляется в виде
dt
^LQ-i = V0(x,t) + ia(t)o3, (4.31)
dt
где V0(x, t) дается формулой (4.5), а а(0-вещественнозначная функция.
Заметим теперь, что условие (4.23) все еще допускает произвол в выборе
матрицы У (a, t) вида У^ехр{гф (^)о3}У, где р(^) - вещественнозначная
функция. Выбирая ее из условия
-^-(0 = 0(0, (4.32).
at
мы можем исправить матрицу У так, что для новой матрицы У второе
слагаемое в правой части (4.31) исчезает. В результате получаем
соотношение
Умг М = Ун ш (^), (4.33)-
так что функция ij>(x, t) удовлетворяет уравнению НШ.
288
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Описание калибровочной эквивалентности моделей НШ и МГ на этом
заканчивается. В гл. II мы рассмотрим это калибровочное преобразование с
гамильтоновой точки зрения.
В заключение этого параграфа обсудим построенное выше
отображение F: S (a) i-(гр (х), ip (я)) с геометрической точки зрения.
Для определенности ограничимся случаем периодических граничных условий
S (х + 2L) = S (х), (4.34)
