Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 95

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 180 >> Следующая

так что вектор-функция S(x) определяет замкнутый контур нч сфере S2 - 1-
цикл у. При отображении F цикл ^ переходит в, вообще говоря, незамкнутый
контур на комплексной плоскости С1. Более точно, мы покажем, что
выполняется соотношение
и0(Ь) = Л°3и0(-ре-^аз, (4.35)
где р - значение импульса модели МГ на поле S(x) (см. § 1), или
ф(Б) =e~ip$(-L). (4.36)
Это позволяет написать
L
Р = - [ -j- arg ф (х) dx, (4 37)
.1 dx -L
что по формуле (4.21) дает новое выражение для плотности импульса модели
МГ.
Мы дадим геометрическое доказательство формулы (4.35). Рассмотрим
реализацию расслоения Хопфа S3=SU (2)-*- S2, задаваемую отображением
Q S, S = S-o = Q-1a8Q, (4.38)
где Q - матрица из SU(2), а S - вектор на S2. Правоинвари-
антная 1-форма на SU(2)
А = -3-tr(dQ • Q'4) (4.39)
задает в этом расслоении 17(1)-связность, кривизна которой dA
представляет собой горизонтальную 2-форму, проекция которой на базу
расслоения - сферу S2 - совпадает с фор'мой площади
-со. Условие (4.23) выбора матрицы Q(x), определяющее ото-4л
бражение F, интерпретируется как условие горизонтального подъема контура
у в пространство расслоения. При этом конечная и начальная точки
поднятого контура связаны преобразова-
§ 5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА КИРАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
289
нием голономии
Q(L)=e2Kia°*Q(-L). (4.40)
По теореме о голономии для ?/(1)-связностей для величины а имеем
выражение
а = -1- j* со, (4.41)
By
где Бт - пленка на S2, натянутая на 1-цикл у. Таким образом
(см. § 1), 4 ла совпадает с импульсом поля S(x). Выбирая теперь
х в качестве начальной точки на контуре у, перепишем
(4.40) в виде
- а
Q (а+ 2L) = e - 3Q(x). (4.42)
Формула (4.35) немедленно следует из этого соотношения.
§ 5. Гамильтонова формулировка уравнений главных киральных полей и
связанных с ними моделей
В § 3 мы ввели уравнения киральных полей и привели для них представление
нулевой кривизны. Здесь мы рассмотрим соответствующие модели с
гамильтоновой точки зрения. Начнем с модели главного кирального поля.
Уравнения движения имеют вид
d2g d*g _ dg' ! гdg ,g j,
dt2 d*2 dt g dt dx g ' dx '
где g(x, t) - функция со значениями в компактной группе Ли G. В качестве
динамических переменных удобно использовать левые токи поля g
h =-fL?1> li = -T~S-\ (5-2)
dt ox
в терминах которых уравнения движения принимают вид
4т-^ + ги0]=°, (5.3)
dt dx
д-Ь- =0. (5.4i
dt dx
Введем в алгебре Ли g группы G базис ta, а-1, ..., п; п = = dimg,
нормированный относительно формы Киллинга - матричного следа в
присоединенном представлении
tr ftb =-----6ab. (5.5)
290 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
В этом случае структурные константы /аЬс, участвующие в основных
коммутационных соотношениях
[ta, tb]=fabct\ (5.6)
образуют полностью антисимметрический тензор. Здесь и ниже мы используем
обычное соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.
Введем компоненты /" матриц
= Ц = 0,1. (5.7)
В этих обозначениях функционал действия S(g) имеет вид
*2 П
s(s)=y j J 2 ((r)2 - (^2)dxdt <5-8>
tt°=i
Рассмотрим функции qa(x)=li(x) как набор обобщенных координат кирального
поля и используем уравнение (5.3) для определения их производных по
времени
Q° = ^f= (Чоf = ^г~ - (3-9)
dt дх
где мы ввели ковариантную производную относительно связности
li=qata. Для канонически сопряженного импульса л°(х)
получаем выражение
п-(х) = ^- = -(\~1110)а(х), (5.10)
8qa (х)
где выбрано антисимметричное определение оператора V71, обратного к
оператору Переменные лДх), qa(x) имеют канонические скобки Пуассона:
{qa(x), qb(y)} = {na(x), nb(y)}=0,
(5.11)
{лДх), qb(y)}=6ab6(x-у), a, b = 1, ..., п,
а гамильтониан Н получается из лагранжиана & для действия 5
^2
S=^gdt (5.12)
и
при помощи обычного преобразования Лежандра
§ 5. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА КИРАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ 291
Скобки Пуассона (5.11) легко переписываются в терминах токов.
Действительно, используя соотношение
/0=-V,n (5.14)
и тождество Якоби для структурных констант fabc, из (5.11) получаем, что
{/о (х), 1Ьо <#)} = - (X) 5 (х - у), (5.15)
{G (X), 1\ т = - П (X) Ь(х-У)~ 6°V (х - у), (5.16)
{1аЛх)Л (У)} = 0, (5.17)
где б'(х-у) означает производную функции 6(х-у) по аргу
менту.
Скобки Пуассона (5.15) - (5.17) являются скобками Ли-¦ Пуассона для
бесконечномерной алгебры Ли, которая представляет собой полупрямую сумму
абелевой алгебры с образующими li(x) и алгебры токов С(д) алгебры Ли
g с образующими f0(x). Действие алгебры токов С(д) на
s&(q) получается рас-
ширением естественного действия (локальных вращений) при помощи 2-коцикла
Маурера - Картана 8аЬб'(х-у).
Скобки Пуассона (5.16) - (5.17) можно получить из скобок Пуассона для
g(x) и 1" (х)
{g (х) До (у)} = - fg (х) б (х - у), (5.18)
{§(*). "?(//)} = О (5.19)
дифференцированием по х и переходом к /Дх) по формуле (5.2). Здесь левая
часть формулы (5.18) представляет собой матрицу, составленную из скобок
Пуассона матричных элементов матрицы g(x) с 1о(у)- Формула (5.19)
означает, что скобки Пуассона всех матричных элементов матрицы g(x)
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed