Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
{х, i, к) имеют вид
U(k)= -^±----------------------, (3.37)
w 1-7 1 -у 7
К(Л) = _К±------------------У=-, (3.38)
1-7 1+7
и релятивистски-инвариантная редукция приводит к условиям
U+ = V+, L'_ = -V_. (3.39)
После этой редукции условие нулевой кривизны сводится к сис-техме (3.36),
если положить
U Jo+A- и = 1°~1' . (3.40)
2 2
Уравнения (3.36) являются уравнениями Эйлера - Лагранжа для функционала
действия
S(g)= ^tr(ll-l])dxdt, (3.41)
где интегрирование по х ведется в соответствии с граничными условиями, а
по t - в интервале Действие S(g) имеет
простое геометрическое происхождение. При отображении g(x,t) форхМа
Маурера - Картана Q - dg-g~l имеет прообразом матричнозначную 1-форму Q-
ladt + lidx. Локальное скалярное произведение таких форм задается формой
Киллинга tr, а интеграл представляет собой скалярное произведение 1-форм
по отношению к метрике Минковского на R2.
282
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Уравнения движения киральных полей со значениями в однородных
пространствах М группы G выглядят более сложно. Однако, как правило, они
могут быть получены редукцией уравнений движения главных киральных полей.
Например, связь
g-I-2Р, (3.42)
где Р - проектор, Р2 = Р, или, что эквивалентно,
gW, (3.43)
совместна с уравнением (3.34). Параметризации проекторов Р
дают различные примеры однородных пространств. Простейший
пример соответствует матричной группе G = SO (N) и одномер-
->
ному проектору Р на единичный вектор п(х, t) в Для этого вектора получаем
уравнение
'2 * '* + ((4-)'-(4-\)"=°- (з-44>
di2 дх2 J \ V dt ) \дх ->
Оно называется уравнением п-поля (или нелинейной а-модели) для единичной
сферы Sw~' в R-v, являющейся простейшим однородным пространством группы
G, SN~l = SO (N)/SO(N-1).
->
(Более точно, при указанной редукции мы получаем .модель п-поля на
проективном пространстве Rpv-' = S^'VZa.)
Гамильтонова формулировка уравнений киральных полей и ее геометрическая
интерпретация будут даны в § 5.
4. Двумеризованная модель Тода. Уравнения движения имеют вид
фа = - Л"*0-1, (3.45)
<Э/2 <Эл-2 /
а= 1, ..., п, cpn+i=cph
где фа(х, /) -вещественнозначные функции. В случае, когда поля ф" не
зависят от переменной х, система (3.45) переходит в уравнения движения
периодической модели Тода (см. § 2); этим объясняется название
рассматриваемой модели.
В быстроубывающем случае фазовое пространство модели образовано
вещественнозначными шварцевскими функциями (фа(х), ла(х); а= 1, ..., п) с
обычной пуассоновой структурой, задаваемой скобками Пуассона
{фа (х), фь (г/)} = {ла (*), ль (у)} = О,
(3.46)
{зха (л:), фг, (г/)} = бааб (л: - г/), а,Ь=\,...,п.
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 283
Уравнения (3.45) записываются в гамильтоновом виде с гамильтонианом
" = IS (т ^ + т(^)' с',л-1 -1)<3-47'
-ОС а-1
Модель допускает представление нулевой кривизны с матрицами U (х, t, Л) и
V (х, t, X) вида
и м = -f S (n"h" +-<Ра+1"Фа' [Ке- + -f"-)) > (3-48)
v М = т 2 (^7 н* + ^ (<Ра+1"Фа' (Ке" - т е-")) ' (3-49)
где е±а-корневые векторы, отвечающие допустимым корням алгебры Ли А"-,
(простые корни и минимальный), a ha-базисные диагональные матрицы в
векторном представлении;
(еа)ц == f 1 {?-а)ц == ^а+1, г^а/Т
(ha)[f = 6<A/J Sa+",/ = 6a>/, 6/,a+n = 8/>a. (3'50)
Матрицы U(x, t, X) и V(x, t, X) вида (3.48) - (3.49) получаются из общих
матриц с простыми полюсами при Л = 0 и Х=оо в результате редукции
u(^x)=z-lu(x)z, У(1х)=г-^(х)г, (3.51)
где ? = e2:ii/" - корень л-й степени из 1, а Z - диагональная матрица:
гц=^'б", ?, / = 1, ...,л, (3.52)
--так называемая Zn-редукция, и фиксации релятивистской калибровки.
Двумеризованная модель Тода, в свою очередь, допускает интересные
гамильтоновы редукции. Так, в случае п=2 редукция л, = -л2 = л, ф, = -ф2
= ф приводит к уравнению
+ 2 sh 2ф =0, (3.53)
dt2 ал-2 т к '
которое получается из уравнения Sine-Gordon (см. § 1), если в последнем
положить т=2, |3 = 2t. Для случая п=3, полагая <Pi =-фз = ф, ф2 = 0, nt
=-л3 = л, л2 = 0, приходим к уравнению
^_^ = е-Ф_е.Ф (3.54)
dt2 ал-2 4
для одного вещественного поля ср(х, /).
Перечисление примеров интегрируемых уравнений на этом заканчивается.
284
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
§ 4. Калибровочная эквивалентность моделей НШ при х = - 1 и МГ
Здесь мы проиллюстрируем понятие калибровочной эквивалентности на примере
моделей HIII при %=-1 и МГ. Матрицы U(х, t, к) и V(х, t, к) из
представлений нулевой кривизны для этих моделей имеют вид
(см. § 1.2 части I и § 1). Мы ввели в обозначения этих матриц символы НШ
и МГ, чтобы различать модели.
Из ЭТИХ формул ВИДНО, ЧТО ДИВИЗОРЫ ПОЛЮСОВ Матриц Ниш й),
ГНш (к) и UMr(k), Уыг(к) совпадают; однако, в отличие от модели НШ, у
матриц модели МГ отсутствуют постоянные члены. Мы подберем матрицу Q(x,
t) калибровочного преобразования от модели НШ к модели МГ так, чтобы эти
постоянные члены исчезли.
Пусть -ф(х, t) - решение уравнения НШ. Тогда антиэрмито-вы матрицы U0(x,
t) и V0(x, t) из (4.1) и (4.5) удовлетворяют условию нулевой кривизны.
